Schnittstellen zwei Funktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Mi 20.03.2013 | | Autor: | skyflash |
| Aufgabe | Die Problemstellung ist aus der Informatik, deswegen gibt es keine wortwörtliche Aufgabe. Aber hier ist das Problem:
Gegeben sind eine Kurven-Funktion: y = H * [mm] \wurzel{1-(\bruch{x}{S})^2}
[/mm]
und eine Linien-Funktion: y = tan(a) * x
Mit H / S / x / y > 0 und a zwischen 0 und 90 Grad.
Errechne die Schnittstelle in Quadrant1 [x > 0; y > 0]. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe versucht die Funktionen gleichzusetzen und nach X aufzulösen. Leider sehen meine Ergebnisse zwar gut aus, sind aber offensichtlich nicht mehr equivalent zur ursprünglichen Funktion. Oder ich verstehe nicht, was sie mir sagen wollen.
t = tan(a)
H * [mm] \wurzel{1-(\bruch{x}{S})^2} [/mm] = t * x
H rüber...
[mm] \wurzel{1-(\bruch{x}{S})^2} [/mm] = [mm] \bruch{t * x}{H}
[/mm]
Quadriert...
[mm] 1-(\bruch{x}{S})^2 [/mm] = [mm] \bruch{t^2 * x^2}{H^2}
[/mm]
Zusammengefasst...
[mm] \bruch{S^2 - X^2}{S^2} [/mm] = [mm] \bruch{t^2 * x^2}{H^2}
[/mm]
H wieder zurück...
[mm] \bruch{(S^2 - X^2) * H}{S^2} [/mm] = [mm] t^2 [/mm] * [mm] x^2
[/mm]
Ausmultipliziert...
[mm] \bruch{H^2 * S^2 - H^2*X^2}{S^2} [/mm] = [mm] t^2 [/mm] * [mm] x^2
[/mm]
X mit rüber...
[mm] \bruch{H^2 * S^2 - H^2*X^2}{S^2 * x^2} [/mm] = [mm] t^2
[/mm]
Summen trennen...
[mm] \bruch{H^2 * S^2}{S^2 * x^2} [/mm] - [mm] \bruch{H^2 * X^2}{S^2 * x^2} [/mm] = [mm] t^2
[/mm]
Kürzen...
[mm] \bruch{H^2}{x^2} [/mm] - [mm] \bruch{H^2}{S^2} [/mm] = [mm] t^2
[/mm]
Alles ohne X rüber...
[mm] \bruch{H^2}{x^2} [/mm] = [mm] \bruch{H^2}{S^2} [/mm] + [mm] t^2
[/mm]
^-1
[mm] \bruch{x^2}{H^2} [/mm] = [mm] \bruch{S^2}{H^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{t^2}
[/mm]
H wieder rüber...
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{S^2*H^2}{H^2} [/mm] + [mm] \bruch{H^2}{t^2}
[/mm]
Gekürzt und Wurzel...
x = +/- (S + [mm] \bruch{H}{t})
[/mm]
Jetzt habe ich versucht damit für H=10, S=6, Winkel = 60° einen Schnittpunkt zu berechnen, funktioniert aber nicht.
Ist das die falsche Methode oder habe ich mich verrechnet?
|
|
| |
|
Hallo skyflash,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Dein Fehler liegt in dem Schritt "Kehrwert bilden". Das kannst Du auf der rechten Seite nicht summandenweise / einzeln machen, sondern musst hier den Kehrwert des gesamten rechten Seite bilden!
Aber Du rechnest auch etwas kompliziert. Einfacher geht es so:
[mm]H*\wurzel{1-\left(\bruch{x}{S}\right)^2} \ = \ \tan(\alpha)*x[/mm]
[mm]\wurzel{1-\bruch{x^2}{S^2}} \ = \ \bruch{\tan(\alpha)}{H}*x[/mm]
[mm]1-\bruch{x^2}{S^2} \ = \ \left[\bruch{\tan(\alpha)}{H}*x\right]^2[/mm]
[mm]1-\bruch{x^2}{S^2} \ = \ \bruch{\tan^2(\alpha)}{H^2}*x^2[/mm]
[mm]1 \ = \ \bruch{\tan^2(\alpha)}{H^2}*x^2+\bruch{x^2}{S^2}[/mm]
[mm]1 \ = \ \bruch{\tan^2(\alpha)}{H^2}*x^2+\bruch{1}{S^2}*x^2[/mm]
[mm]1 \ = \ \left[\bruch{\tan^2(\alpha)}{H^2}+\bruch{1}{S^2}\right]*x^2[/mm]
[mm]\bruch{1}{\bruch{\tan^2(\alpha)}{H^2}+\bruch{1}{S^2}} \ = \ x^2[/mm]
[mm]x^2 \ = \ \bruch{H^2*S^2}{S^2*\tan^2(\alpha)+H^2}[/mm]
[mm]|x| \ = \ \bruch{|H|*|S|}{\wurzel{S^2*\tan^2(\alpha)+H^2}}[/mm]
[mm]|x| \ = \ \bruch{|H|}{\wurzel{\tan^2(\alpha)+\left(\bruch{H}{S}\right)^2}}[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mi 20.03.2013 | | Autor: | skyflash |
Sorry die Frage hatte einen Formatierungsfehler, sprich die Formel ist falsch, deine Lösung ist entsprechend auch verkehrt, aber wenns am Kehrwert liegt dann sollte ich es jetzt ja selber hinkriegen.
Ich rechne mal weiter.
Danke.
Ich werde berichten.
----
Ja, das habe ich jetzt auch raus, nur weniger schön.
Danke nochmal... jetzt schaue ich mal, ob mir das Programmiertechnisch weiter hilft und es funktioniert.
----
Klappt alles, Mathe ist korrekt und auch das Programm funktioniert.
Danke vielmals.
/closed
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Mi 20.03.2013 | | Autor: | skyflash |
Die Frage ist falsch, ich kann aber nicht editieren.
Richtig ist:
H * [mm] \wurzel{1-(\bruch{x}{S})^2} [/mm] = t * x
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Mi 20.03.2013 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo skyflash!
Ich habe meine Antwort oben dementsprechend abgeändert.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
