Schnittwinkel 2er Ebenen > 90° < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Mi 06.01.2016 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gibt es einen Weg, einen Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen, der größer als 90° ist, eindeutig zu berechnen? Wobei ich nicht weiß, dass der Winkel größer als 90° ist!
Gegeben sind zwei Ebenen in Parameterform. |
Moin Moin,
kann man einen Schnittwinkel größer als 90° eindeutig berechnen, ohne dass man vorher weiß, ob der Winkel kleiner oder größer als 90° ist ?
Wenn ich zwei Ebenen in Parameterform habe, kann ich über das Kreuzprodukt jeweils einen Normalenvektor bilden.
Dabei kann ich für einen Normalenvektor beide Orientierungen erhalten, je nach dem, ob ich [mm] \vec{u}x\vec{v} [/mm] oder [mm] \vec{v}x\vec{u} [/mm] rechne.
Insofern würde ich "zufällig" einen Winkel kleiner als 90° und einen Winkel größer als 90° erhalten.
Gibt es eine Möglichkeit das Ganze eindeutig zu bestimmen?
Danke für eure Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Mi 06.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mit der Formel [mm] \cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} [/mm] berechnest du ja generell den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}
[/mm]
Wenn du aber den Betrag des Skalarprodukt im Zähler nutzt, bekommst du - unabhängig von der Orientierung der Vektoren - immer den kleineren der beiden Schnittwinkel.
Rechne also mit [mm] \cos(\alpha)=\frac{\red{|}\vec{a}\cdot\vec{b}\red{|}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} [/mm] um auf der sicheren Seite zu sein, einen Winkel kleiner als 90° zu erreichen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mo 11.01.2016 | | Autor: | hase-hh |
Moin Marius,
einen Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren, der kleiner als 90° ist, erhält man immer, wenn man vom Skalarprodukt den Betrag nimmt. Das ist mir klar.
Meine Frage ist aber, wie kann ich -- allgemein --- den tatsächlichen Schnittwinkel bestimmen, der ja ggf. auch größer als 90° sein kann; bspw. bei einem umgekehrten Pyramidenstumpf, dessen Seiten einen Winkel größer als 90° einschließen.
Problem:
Wenn ich von einer Ebene, die in Parameterform gegeben ist, einen Normalenvektor bilde... dann kann ich bspw. über das Kreuzprodukt zwei Normalenvektoren bilden, die entgegengesetzte Orientierung haben. Mithin erhalte ich wahlweise ein Skalarprodukt größer oder kleiner null... ?!?
Anderer Fall - tatsächlicher Winkel im Dreieck
Bei der Berechnung eines Winkels im Dreieck, dann müssen die Vektoren beide vom gesuchten Winkel wegzeigen und dann erhalte ich im Falle eines Falles eben auch einen Schnittwinkel größer als 90°, aber immer den tatsächlichen Winkel zwischen diesen Vektoren.
Geht das auch bei Ebenen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Mo 11.01.2016 | | Autor: | Marc |
Hallo hase-hh!
> einen Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren, der kleiner als
> 90° ist, erhält man immer, wenn man vom Skalarprodukt den
> Betrag nimmt. Das ist mir klar.
>
> Meine Frage ist aber, wie kann ich -- allgemein --- den
> tatsächlichen Schnittwinkel bestimmen, der ja ggf. auch
> größer als 90° sein kann; bspw. bei einem umgekehrten
> Pyramidenstumpf, dessen Seiten einen Winkel größer als
> 90° einschließen.
>
> Problem:
> Wenn ich von einer Ebene, die in Parameterform gegeben
> ist, einen Normalenvektor bilde... dann kann ich bspw.
> über das Kreuzprodukt zwei Normalenvektoren bilden, die
> entgegengesetzte Orientierung haben. Mithin erhalte ich
> wahlweise ein Skalarprodukt größer oder kleiner null...
> ?!?
>
> Anderer Fall - tatsächlicher Winkel im Dreieck
> Bei der Berechnung eines Winkels im Dreieck, dann müssen
> die Vektoren beide vom gesuchten Winkel wegzeigen und dann
> erhalte ich im Falle eines Falles eben auch einen
> Schnittwinkel größer als 90°, aber immer den
> tatsächlichen Winkel zwischen diesen Vektoren.
>
>
> Geht das auch bei Ebenen?
Nein, diese Gedanken brauchst du dir nicht zu machen.
Man findet als Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen (und übrigens zwischen zwei Geraden und auch einer Ebene und einer Geraden) ja immer zwei Winkel, die man Schnittwinkel nennen könnte. Daher hat man festgelegt, dass der kleinere der beiden (bzw. der, der kleiner/gleich 90° ist) der Schnittwinkel ist.
Mit anderen Worten: Schnittwinkel sind daher immer kleiner/gleich 90°, daher liefert M.Rex' Formel (mit den Beträgen ums Skalarprodukt) immer den richtigen Winkel.
Dies unterscheidet sich, wie du ja auch schon angesprochen hast, vom Winkel, den zwei Vektoren einschließen. Dieser kann auch größer 90° sein.
Viele Grüße
Marc
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> Man findet als Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen (und
> übrigens zwischen zwei Geraden und auch einer Ebene und
> einer Geraden) ja immer zwei Winkel, die man Schnittwinkel
> nennen könnte. Daher hat man festgelegt, dass der kleinere
> der beiden (bzw. der, der kleiner/gleich 90° ist) der
> Schnittwinkel ist.
> Mit anderen Worten: Schnittwinkel sind daher immer
> kleiner/gleich 90°, daher liefert M.Rex' Formel (mit den
> Beträgen ums Skalarprodukt) immer den richtigen Winkel.
Hallo,
ich glaube, ich verstehe, was hase-hh möchte:
er möchte den Winkel, in dem Flächen aufeinandertreffen, direkt ausrechnen,
z.B. den Winkel, in dem etwa die Deckfläche eines Pyramidenstumpfes auf eine Seitenfläche stößt.
Im Gegensatz zum Schnittwinkel von Ebenen kann dieser Winkel ja größer als 90° sein.
LG Angela
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> Dies unterscheidet sich, wie du ja auch schon angesprochen
> hast, vom Winkel, den zwei Vektoren einschließen. Dieser
> kann auch größer 90° sein.
>
> Viele Grüße
> Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Mo 11.01.2016 | | Autor: | Marc |
Hallo Angela, hallo hase-hh!
> > Man findet als Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen (und
> > übrigens zwischen zwei Geraden und auch einer Ebene und
> > einer Geraden) ja immer zwei Winkel, die man Schnittwinkel
> > nennen könnte. Daher hat man festgelegt, dass der kleinere
> > der beiden (bzw. der, der kleiner/gleich 90° ist) der
> > Schnittwinkel ist.
> > Mit anderen Worten: Schnittwinkel sind daher immer
> > kleiner/gleich 90°, daher liefert M.Rex' Formel (mit den
> > Beträgen ums Skalarprodukt) immer den richtigen Winkel.
>
> Hallo,
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> ich glaube, ich verstehe, was hase-hh möchte:
>
> er möchte den Winkel, in dem Flächen aufeinandertreffen,
> direkt ausrechnen,
> z.B. den Winkel, in dem etwa die Deckfläche eines
> Pyramidenstumpfes auf eine Seitenfläche stößt.
> Im Gegensatz zum Schnittwinkel von Ebenen kann dieser
> Winkel ja größer als 90° sein.
Ja, das kann sein. In diesen Fall würde ich dann sagen:
Diesen Winkel kann keine Formel liefern, die nur die beiden Flächen als Ebenen auffasst, sondern in eine solche Formel müsste z.B. auch die Information einfließen, in welche Richtung das innere des Pyramidenstumpfes liegt. Dafür eine fertige Formel aufzustellen lohnt aber nicht.
Welcher der beiden möglichen Schnittwinkel gesucht ist würde ich daher durch eine externe Überlegung herausfinden, z.B. durch Punktproben für die Normalenformen der Ebenen herausfinden, ob die Normalenvektoren nach innen orientiert sind.
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Fr 15.01.2016 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin,
> > Hallo,
> >
> > ich glaube, ich verstehe, was hase-hh möchte:
> >
> > er möchte den Winkel, in dem Flächen aufeinandertreffen,
> > direkt ausrechnen,
> > z.B. den Winkel, in dem etwa die Deckfläche eines
> > Pyramidenstumpfes auf eine Seitenfläche stößt.
> > Im Gegensatz zum Schnittwinkel von Ebenen kann dieser
> > Winkel ja größer als 90° sein.
Genau das möchte ich!
> Ja, das kann sein. In diesen Fall würde ich dann sagen:
> Diesen Winkel kann keine Formel liefern, die nur die
> beiden Flächen als Ebenen auffasst, sondern in eine solche
> Formel müsste z.B. auch die Information einfließen, in
> welche Richtung das innere des Pyramidenstumpfes liegt.
> Dafür eine fertige Formel aufzustellen lohnt aber nicht.
Warum lohnt sich das nicht??? Tut mir leid, das müsste einen Theoretiker doch gerade anspornen. Wie dargelegt, für Winkel im Dreieck ist das noch nicht mal ein großer Aufwand / Unterschied.
> Welcher der beiden möglichen Schnittwinkel gesucht ist
> würde ich daher durch eine externe Überlegung
> herausfinden, z.B. durch Punktproben für die
> Normalenformen der Ebenen herausfinden, ob die
> Normalenvektoren nach innen orientiert sind.
>
> Viele Grüße
> Marc
Punktproben für die Normalenvektoren... ob diese nach innen gerichtet sind oder nicht... Klingt interessant.
Wie würde denn das gehen?
Problem, ist doch, dass ein Normalenvektor die Orientierung wechseln kann... bzw. je nach dem, ob ich einen Normalenvektor durch [mm] \vec{a} [/mm] x [mm] \vec{b} [/mm] oder [mm] \vec{b} [/mm] x [mm] \vec{a} [/mm] berechne. Dies ist aber eben willkürlich, und daher nicht verlässlich, in Bezug auf den zu berechnenden Schnittwinkel (wie oben bereits ausgeführt).
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Fr 15.01.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh das Problem nicht, denn 2 ebenen schneiden sich immer mit Winkel und Nebenwinkel, welchen man will, muss man anders sagen. etwa ,indem man die Richtung der Normalen festlegt.
Gruß leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:00 Sa 16.01.2016 | | Autor: | hase-hh |
Es tut mir leid, ich habe das Problem deutlich beschrieben.
Also nochmal: Ich möchte nicht den kleineren Schnittwinkel berechnen sondern den tatsächlichen Schnittwinkel.
Ein Beispiel, bei dem der tatsächliche Schnittwinkel größer als 90° ist, ist der Schnittwinkel zweier Seitenflächen eines Pyramidenstumpfes.
So, nun sei von vornherein nicht bekannt, ob die beiden Ebenen sich in einem Winkel (Innenwinkel) kleiner oder größer als 90° schneiden.
Meine Frage bleibt: Wie kann ich den tatsächlichen Winkel ausrechnen?
Problem dabei habe ich oben beschrieben!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 16.01.2016 | | Autor: | hase-hh |
Die Frage ist nach wie vor offen.
Ich hatte eben folgende Idee:
1. Ich bestimme die Normelnvektoren der beiden Ebenen (ohne Berücksichtigung deren Orientierungen)
2. Ich wähle mir einen Punkt innerhalb des Körpers (bspw. Pyramidenstumpf) und errechne mithilfe der beiden Normalenvektoren die jeweiligen Schnittpunkte [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] mit den Ebenen.
3. Ich kann dann die Normalenvektoren mit den "richtigen" Orientierungen aus P und [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] bilden.
[mm] \overrightarrow{PS_1} [/mm] und [mm] \overrightarrow{PS_2}
[/mm]
4. Daraus erhalte ich dann immer den tatsächlichen Schnittwinkel...
Bin mir nur nicht sicher, ob ich immer einen Punkt "innerhalb" der beiden Ebenen bestimmen kann... (?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Sa 16.01.2016 | | Autor: | chrisno |
> .....
> Bin mir nur nicht sicher, ob ich immer einen Punkt
> "innerhalb" der beiden Ebenen bestimmen kann... (?)
Das ist doch genau der Punkt. Du musst die Ebenen mit Seiten "innen" und "außen" versehen können. Dies machst Du, indem Du einen Punkt festlegst, der auf jeden Fall für beide Ebenen "innen" liegt. Ohne so eine Vorgabe geht es nicht weiter. Eine etwas allgemeinere Methode hast Du, wenn Du vorschreibst, dass das Koordinatensystem so zu wählen ist, dass der Ursprung "innen" liegt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Sa 16.01.2016 | | Autor: | Marc |
Hallo hase-hh!
> Ich hatte eben folgende Idee:
>
> 1. Ich bestimme die Normelnvektoren der beiden Ebenen (ohne
> Berücksichtigung deren Orientierungen)
>
> 2. Ich wähle mir einen Punkt innerhalb des Körpers (bspw.
> Pyramidenstumpf) und errechne mithilfe der beiden
> Normalenvektoren die jeweiligen Schnittpunkte [mm]S_1[/mm] und [mm]S_2[/mm]
> mit den Ebenen.
Du meinst, du fällst das Lot von P auf die beiden Ebenen?
> 3. Ich kann dann die Normalenvektoren mit den "richtigen"
> Orientierungen aus P und [mm]S_1[/mm] und [mm]S_2[/mm] bilden.
>
> [mm]\overrightarrow{PS_1}[/mm] und [mm]\overrightarrow{PS_2}[/mm]
>
>
> 4. Daraus erhalte ich dann immer den tatsächlichen
> Schnittwinkel...
> Bin mir nur nicht sicher, ob ich immer einen Punkt
> "innerhalb" der beiden Ebenen bestimmen kann... (?)
Wie chrisno schrieb, ist das die Voraussetzung, dass du weiß, wo das "innere" des Körpers liegt. Bei Pyramidenstumpfen ist das doch aber kein Problem, do kannst doch einfach einen Eckpunkt nehmen, der nicht in den beiden beteiligten Ebenen liegt.
Deine Vorgehensweise von oben würde ich zudem noch folgendermaßen optimieren:
1. s.o.
Die Normalengleichungen der beiden Ebenen seien
[mm] $(x-p_1)*n_1=0$ [/mm] und [mm] $(x-p_2)*n_2=0$ [/mm] (in Normalenform)
2. Die beiden Ebenen zerlegen den Raum (falls sie sich schneiden, wovon wir hier ja ausgehen) in vier Bereiche. Wähle einen Punkt P (mit Ortsvektor p) in einem der vier Bereiche (z.B. Eckpunkt des Körpers, der nicht in den beiden Ebenen liegt, siehe oben).
3. Finde heraus, ob die Normalenvektoren in Richtung von P zeigen, durch zwei Punktproben:
[mm] $(p-p_1)*n_1>0$ $\Rightarrow$ [/mm] ja!
[mm] $(p-p_1)*n_1<0$ $\Rightarrow$ [/mm] nein! Dann orientiere [mm] $n_1$ [/mm] anders herum, nimm also [mm] $-n_1$ [/mm] als Normalenvektor [mm] $n_1$.
[/mm]
Zweite Punktprobe für [mm] $n_2$ [/mm] analog.
4. Berechne den Winkel zwischen den Ebenen mit folgender Formel:
[mm] $\cos(\angle(n_1,n_2))=-\frac{n_1*n_2}{|n_1|*|n_2|}$
[/mm]
(achte auf das Minuszeichen)
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 So 17.01.2016 | | Autor: | hase-hh |
Halo Marc,
vielen Dank für deine Antwort; jetzt ist mir das Ganze klarer. 
Wolfgang
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