Schranken für Nullstellen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen,
ich betrachte gerade ein Polynom [mm] $p(z):=\sum\limits_{k=0}^n a_k z^k$ [/mm] mit komplexem $z$, und positiven [mm] $a_k$. [/mm] Weiter weiß ich, dass die $n$ Nullstellen alle reell sind.
Ich habe für die Koeffizienten [mm] $a_k$ [/mm] nun folgende Abschätzung:
[mm] $a_k\leq\lambda^k b_k$ [/mm] für [mm] $0\leq k\leq [/mm] n$, mit [mm] $\lambda\geq1$.
[/mm]
Und ich weiß, dass das Polynom [mm] $q(z):=\sum \lambda^k b_k z^k$ [/mm] ebenfalls nur reelle Koeffizienten besitzt.
Meine Vermutung ist, dass die Nullstellen von $q$ kleiner sind als die von $p$. Denn immerhin werden die Nullstellvon [mm] $\tilde{q}(z):=\sum b_kz^k$ [/mm] zu $q$ um den Faktor [mm] $1/\lambda$ [/mm] skaliert und somit für [mm] $\lambda\geq1$ [/mm] kleiner.
Ich könnte mir z.B. vorstellen, dass die Nullstellen sich maximal um den Faktor [mm] $1/\lambda$ [/mm] verändern.
Prinzipiell würde mir dabei sogar eine Aussage über die jeweils größten und kleinsten Nullstellen genügen.
Ich kann das allerdings nicht beweisen. Mir fehlt der Ansatz. Möglicherweise fehlt mir dazu einfach bloß etwas mathematischer Hintergrund oder eine Idee, wie ich das Problem angehen kann. Kann mir dabei jemand einen Tipp geben?
Danke! 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Do 13.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> ich betrachte gerade ein Polynom [mm]p(z):=\sum\limits_{k=0}^n a_k z^k[/mm]
> mit komplexem [mm]z[/mm], und positiven [mm]a_k[/mm]. Weiter weiß ich, dass
> die [mm]n[/mm] Nullstellen alle reell sind.
>
> Ich habe für die Koeffizienten [mm]a_k[/mm] nun folgende
> Abschätzung:
>
> [mm]a_k\leq\lambda^k b_k[/mm] für [mm]0\leq k\leq n[/mm], mit [mm]\lambda\geq1[/mm].
>
> Und ich weiß, dass das Polynom [mm]q(z):=\sum \lambda^k b_k z^k[/mm]
> ebenfalls nur reelle Koeffizienten besitzt.
>
> Meine Vermutung ist, dass die Nullstellen von [mm]q[/mm] kleiner
> sind als die von [mm]p[/mm].
Das stimmt nicht: nimm n=2 , [mm] p(x)=x^2+2x+1 [/mm] und [mm] q(x)=x^2+4x+1
[/mm]
FRED
Edit: mein "Gegenbeispiel" taugt doch nicht.
Nochmal Edit: es taugt doch !
> Denn immerhin werden die Nullstellvon
> [mm]\tilde{q}(z):=\sum b_kz^k[/mm] zu [mm]q[/mm] um den Faktor [mm]1/\lambda[/mm]
> skaliert und somit für [mm]\lambda\geq1[/mm] kleiner.
> Ich könnte mir z.B. vorstellen, dass die Nullstellen sich
> maximal um den Faktor [mm]1/\lambda[/mm] verändern.
>
> Prinzipiell würde mir dabei sogar eine Aussage über die
> jeweils größten und kleinsten Nullstellen genügen.
>
>
> Ich kann das allerdings nicht beweisen. Mir fehlt der
> Ansatz. Möglicherweise fehlt mir dazu einfach bloß etwas
> mathematischer Hintergrund oder eine Idee, wie ich das
> Problem angehen kann. Kann mir dabei jemand einen Tipp
> geben?
>
> Danke!
>
|
|
|
| |
|
> > Hallo zusammen,
> >
> > ich betrachte gerade ein Polynom [mm]p(z):=\sum\limits_{k=0}^n a_k z^k[/mm]
> > mit komplexem [mm]z[/mm], und positiven [mm]a_k[/mm]. Weiter weiß ich, dass
> > die [mm]n[/mm] Nullstellen alle reell sind.
> >
> > Ich habe für die Koeffizienten [mm]a_k[/mm] nun folgende
> > Abschätzung:
> >
> > [mm]a_k\leq\lambda^k b_k[/mm] für [mm]0\leq k\leq n[/mm], mit [mm]\lambda\geq1[/mm].
> >
> > Und ich weiß, dass das Polynom [mm]q(z):=\sum \lambda^k b_k z^k[/mm]
> > ebenfalls nur reelle Koeffizienten besitzt.
> >
> > Meine Vermutung ist, dass die Nullstellen von [mm]q[/mm] kleiner
> > sind als die von [mm]p[/mm].
>
> Das stimmt nicht: nimm n=2 , [mm]p(x)=x^2+2x+1[/mm] und
> [mm]q(x)=x^2+4x+1[/mm]
>
> FRED
>
>
Naja, das ist jetzt allerdings nicht die Abschätzung, die ich verwende (oder ich verstehe nicht genau, was du machst).
Wenn wir [mm] $p(x)=x^2+2x+1$ [/mm] betrachten und sagen [mm] $\lambda=2$, [/mm] dann wäre [mm] $q(x)=2^2x^2+2\cdot [/mm] 2x+1$.
Die Nullstellen haben sich von $p$ zu $q$ vergrößert (von $-1$ zu $-0,5$).
>
> > Denn immerhin werden die Nullstellvon
> > [mm]\tilde{q}(z):=\sum b_kz^k[/mm] zu [mm]q[/mm] um den Faktor [mm]1/\lambda[/mm]
> > skaliert und somit für [mm]\lambda\geq1[/mm] kleiner.
> > Ich könnte mir z.B. vorstellen, dass die Nullstellen
> sich
> > maximal um den Faktor [mm]1/\lambda[/mm] verändern.
> >
> > Prinzipiell würde mir dabei sogar eine Aussage über die
> > jeweils größten und kleinsten Nullstellen genügen.
> >
> >
> > Ich kann das allerdings nicht beweisen. Mir fehlt der
> > Ansatz. Möglicherweise fehlt mir dazu einfach bloß etwas
> > mathematischer Hintergrund oder eine Idee, wie ich das
> > Problem angehen kann. Kann mir dabei jemand einen Tipp
> > geben?
> >
> > Danke!
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Do 13.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Du hast recht , ich hab mich vertan.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Do 13.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Hallo zusammen,
> > >
> > > ich betrachte gerade ein Polynom [mm]p(z):=\sum\limits_{k=0}^n a_k z^k[/mm]
> > > mit komplexem [mm]z[/mm], und positiven [mm]a_k[/mm]. Weiter weiß ich, dass
> > > die [mm]n[/mm] Nullstellen alle reell sind.
> > >
> > > Ich habe für die Koeffizienten [mm]a_k[/mm] nun folgende
> > > Abschätzung:
> > >
> > > [mm]a_k\leq\lambda^k b_k[/mm] für [mm]0\leq k\leq n[/mm], mit [mm]\lambda\geq1[/mm].
> > >
> > > Und ich weiß, dass das Polynom [mm]q(z):=\sum \lambda^k b_k z^k[/mm]
> > > ebenfalls nur reelle Koeffizienten besitzt.
> > >
> > > Meine Vermutung ist, dass die Nullstellen von [mm]q[/mm] kleiner
> > > sind als die von [mm]p[/mm].
> >
> > Das stimmt nicht: nimm n=2 , [mm]p(x)=x^2+2x+1[/mm] und
> > [mm]q(x)=x^2+4x+1[/mm]
> >
> > FRED
> >
> >
> Naja, das ist jetzt allerdings nicht die Abschätzung, die
> ich verwende (oder ich verstehe nicht genau, was du
> machst).
> Wenn wir [mm]p(x)=x^2+2x+1[/mm] betrachten und sagen [mm]\lambda=2[/mm], dann
> wäre [mm]q(x)=2^2x^2+2\cdot 2x+1[/mm].
das wäre aber nur im Falle [mm] $a_k=b_k$ [/mm] so!
(Edit: Das wäre für [mm] $a_k, b_k \ge [/mm] 0$ dann [mm] $\lambda=1$ [/mm] und alles ist trivial - haben
wir eigentlich Vorzeichenbedingungen an die Koeffizienten? Denn ansonsten
kann man doch einfach alle [mm] $a_k [/mm] < 0$ und alle [mm] $b_k \ge [/mm] 0$ wählen, dann ist
die Forderung [mm] $a_k \le \lambda^k b_k$ [/mm] immer gültig... inwiefern das für
Deine Frage relevant ist, weiß ich gerade noch nicht... Aber ich kann ja [mm] $b_k=0$
[/mm]
für alle [mm] $k\,$ [/mm] setzen und das passt dann definitiv nicht - aber ich nehme an,
dass Deine Polynome auch den gleichen Grad [mm] $n\,$ [/mm] haben müssen...)
Ansonsten: Vergleiche vielleicht mal
[mm] $p(z)\,$
[/mm]
mit
[mm] $q(\tfrac{1}{\lambda}z)$
[/mm]
P.S. Edit: So, wie es da steht, hat Fred doch recht:
Bei
[mm] $p(x)=x^2+2x+1$
[/mm]
ist [mm] $a_1=1,$ $a_2=2$ [/mm] und [mm] $a_3=1$
[/mm]
und bei
[mm] $q(x)=x^2+4x+1$
[/mm]
ist dann [mm] $b_1=\frac{1}{4},$ $b_2=2$ [/mm] und [mm] $b_3=1.$
[/mm]
Damit gilt
[mm] $\lambda^k b_k=2^k b_k=a_k \ge a_k\,$
[/mm]
für alle [mm] $k\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Do 13.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > > > Hallo zusammen,
> > > >
> > > > ich betrachte gerade ein Polynom [mm]p(z):=\sum\limits_{k=0}^n a_k z^k[/mm]
> > > > mit komplexem [mm]z[/mm], und positiven [mm]a_k[/mm]. Weiter weiß ich, dass
> > > > die [mm]n[/mm] Nullstellen alle reell sind.
> > > >
> > > > Ich habe für die Koeffizienten [mm]a_k[/mm] nun folgende
> > > > Abschätzung:
> > > >
> > > > [mm]a_k\leq\lambda^k b_k[/mm] für [mm]0\leq k\leq n[/mm], mit [mm]\lambda\geq1[/mm].
> > > >
> > > > Und ich weiß, dass das Polynom [mm]q(z):=\sum \lambda^k b_k z^k[/mm]
> > > > ebenfalls nur reelle Koeffizienten besitzt.
> > > >
> > > > Meine Vermutung ist, dass die Nullstellen von [mm]q[/mm] kleiner
> > > > sind als die von [mm]p[/mm].
> > >
> > > Das stimmt nicht: nimm n=2 , [mm]p(x)=x^2+2x+1[/mm] und
> > > [mm]q(x)=x^2+4x+1[/mm]
> > >
> > > FRED
> > >
> > >
> > Naja, das ist jetzt allerdings nicht die Abschätzung, die
> > ich verwende (oder ich verstehe nicht genau, was du
> > machst).
> > Wenn wir [mm]p(x)=x^2+2x+1[/mm] betrachten und sagen [mm]\lambda=2[/mm], dann
> > wäre [mm]q(x)=2^2x^2+2\cdot 2x+1[/mm].
>
> das wäre aber nur im Falle [mm]a_k=b_k[/mm] so!
> (Edit: Das wäre für [mm]a_k, b_k \ge 0[/mm] dann [mm]\lambda=1[/mm] und
> alles ist trivial - haben
> wir eigentlich Vorzeichenbedingungen an die Koeffizienten?
> Denn ansonsten
> kann man doch einfach alle [mm]a_k < 0[/mm] und alle [mm]b_k \ge 0[/mm]
> wählen, dann ist
> die Forderung [mm]a_k \le \lambda^k b_k[/mm] immer gültig...
> inwiefern das für
> Deine Frage relevant ist, weiß ich gerade noch nicht...
> Aber ich kann ja [mm]b_k=0[/mm]
> für alle [mm]k\,[/mm] setzen und das passt dann definitiv nicht -
> aber ich nehme an,
> dass Deine Polynome auch den gleichen Grad [mm]n\,[/mm] haben
> müssen...)
>
> Ansonsten: Vergleiche vielleicht mal
>
> [mm]p(z)\,[/mm]
>
> mit
>
> [mm]q(\tfrac{1}{\lambda}z)[/mm]
>
>
> P.S. Edit: So, wie es da steht, hat Fred doch recht:
Prima !
FRED
>
> Bei
>
> [mm]p(x)=x^2+2x+1[/mm]
>
> ist [mm]a_1=1,[/mm] [mm]a_2=2[/mm] und [mm]a_3=1[/mm]
>
> und bei
>
> [mm]q(x)=x^2+4x+1[/mm]
>
> ist dann [mm]b_1=\frac{1}{4},[/mm] [mm]b_2=2[/mm] und [mm]b_3=1.[/mm]
>
> Damit gilt
>
> [mm]\lambda^k b_k=2^k b_k=a_k \ge a_k\,[/mm]
>
> für alle [mm]k\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Do 13.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> ich betrachte gerade ein Polynom [mm]p(z):=\sum\limits_{k=0}^n a_k z^k[/mm]
> mit komplexem [mm]z[/mm], und positiven [mm]a_k[/mm]. Weiter weiß ich, dass
> die [mm]n[/mm] Nullstellen alle reell sind.
>
> Ich habe für die Koeffizienten [mm]a_k[/mm] nun folgende
> Abschätzung:
>
> [mm]a_k\leq\lambda^k b_k[/mm] für [mm]0\leq k\leq n[/mm], mit [mm]\lambda\geq1[/mm].
>
> Und ich weiß, dass das Polynom [mm]q(z):=\sum \lambda^k b_k z^k[/mm]
> ebenfalls nur reelle Koeffizienten besitzt.
>
> Meine Vermutung ist, dass die Nullstellen von [mm]q[/mm] kleiner
> sind als die von [mm]p[/mm]. Denn immerhin werden die Nullstellvon
> [mm]\tilde{q}(z):=\sum b_kz^k[/mm] zu [mm]q[/mm] um den Faktor [mm]1/\lambda[/mm]
> skaliert und somit für [mm]\lambda\geq1[/mm] kleiner.
> Ich könnte mir z.B. vorstellen, dass die Nullstellen sich
> maximal um den Faktor [mm]1/\lambda[/mm] verändern.
>
> Prinzipiell würde mir dabei sogar eine Aussage über die
> jeweils größten und kleinsten Nullstellen genügen.
>
>
> Ich kann das allerdings nicht beweisen. Mir fehlt der
> Ansatz. Möglicherweise fehlt mir dazu einfach bloß etwas
> mathematischer Hintergrund oder eine Idee, wie ich das
> Problem angehen kann. Kann mir dabei jemand einen Tipp
> geben?
dass das nicht stimmt, hat Fred ja schon gezeigt. Grundsätzlich hilft's Dir
aber vielleicht, mal
[mm] $p(\lambda [/mm] z)$
mit
[mm] $q(z)\,$
[/mm]
zu vergleichen:
[mm] $p(\lambda z)=\sum_{k=0}^n \lambda^k a_k z^k$
[/mm]
und
[mm] $q(z)=\sum_{k=0}^n \lambda^k b_k z^k.$
[/mm]
Oder
[mm] $p(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^k$
[/mm]
vergleichen mit
[mm] $q(\tfrac{1}{\lambda}z)= \sum_{k=0}^n \lambda^k b_k \frac{z^k}{\lambda^k}=\sum_{k=0}^n b_k z^k.$
[/mm]
Worum geht's denn genau?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Do 13.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Balendilin,
> Hallo zusammen,
>
> ich betrachte gerade ein Polynom [mm]p(z):=\sum\limits_{k=0}^n a_k z^k[/mm]
> mit komplexem [mm]z[/mm], und positiven [mm]a_k[/mm]. Weiter weiß ich, dass
> die [mm]n[/mm] Nullstellen alle reell sind.
>
> Ich habe für die Koeffizienten [mm]a_k[/mm] nun folgende
> Abschätzung:
>
> [mm]a_k\leq\lambda^k b_k[/mm] für [mm]0\leq k\leq n[/mm], mit [mm]\lambda\geq1[/mm].
kannst Du nochmal die Aufgabenstellung prüfen? Vielleicht steht ja anstatt
[mm] $a_k \le \lambda^k b_k$
[/mm]
doch sowas wie
$0 [mm] \;\le\;a_k \;\le\;b_k$
[/mm]
da?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Do 13.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
diese abgeschwächte Formulierung wurde hier schon diskutiert
Gruß Sax.
|
|
|
|
