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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Sa 26.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Sei [mm] f:I\to\IR [/mm] eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall I und sei [mm] c\in\IR
[/mm]
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(I) [mm] |f'(x)|\le [/mm] c für alle x aus I
(II) [mm] |f(x)-f(y)|\le [/mm] c|x-y| für alle x,y aus I
Hinweis: Verwenden Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechnung |
Hallo, bis jetzt konnte ich folgendes zeigen:
[mm] (I)\Rightarrow(II)
[/mm]
Seien x,y aus I mit y<x Laut MWS gibt es ein c aus ]y,x[
[mm] f'(c)=\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}\gdw f'(c)(x-y)=f(x)-f(y)\gdw|f(x)-f(y)|=|f'(c)(x-y)|=|f'(c)||x-y|\le|x-y|c [/mm]
Beim Teil [mm] (II)\Rightarrow(I) [/mm] habe ich irgendwie Probleme, ich komme ab einem bestimmten Punkt nicht mehr weiter:
[mm] |f(x)-f(y)|\le|x-y|c \gdw c\re\bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}=|\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}|
[/mm]
Das ist nun der Differenzenquotient, aber ich kann ja jetzt nicht einfach sagen er ist gleich |f'(x)| bzw. größer oder gleich, oder? Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen?
Danke im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Sa 26.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]f:I\to\IR[/mm] eine differenzierbare Funktion auf einem
> Intervall I und sei [mm]c\in\IR[/mm]
> Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
>
> (I) [mm]|f'(x)|\le[/mm] c für alle x aus I
> (II) [mm]|f(x)-f(y)|\le[/mm] c|x-y| für alle x,y aus I
>
> Hinweis: Verwenden Sie den Mittelwertsatz der
> Differentialrechnung
>
>
>
>
> Hallo, bis jetzt konnte ich folgendes zeigen:
>
> [mm](I)\Rightarrow(II)[/mm]
>
> Seien x,y aus I mit y<x Laut MWS gibt es ein c aus ]y,x[
> [mm]f'(c)=\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}\gdw f'(c)(x-y)=f(x)-f(y)\gdw|f(x)-f(y)|=|f'(c)(x-y)|=|f'(c)||x-y|\le|x-y|c[/mm]
Abgesehen von der unschoenen Doppelbedeutung von $c$ ist das richtig.
>
> Beim Teil [mm](II)\Rightarrow(I)[/mm] habe ich irgendwie Probleme,
> ich komme ab einem bestimmten Punkt nicht mehr weiter:
>
> [mm]|f(x)-f(y)|\le|x-y|c \gdw c\re\bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}=|\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}|[/mm]
>
> Das ist nun der Differenzenquotient, aber ich kann ja jetzt
> nicht einfach sagen er ist gleich |f'(x)| bzw. größer
> oder gleich, oder? Könnte mir da bitte jemand
> weiterhelfen?
Existiert der Grenzwert [mm] $\lim_{x\to y} \bruch{f(x)-f(y)}{x-y}$? [/mm] Bleibt die Ungleichung erhalten? $y$ war beliebig, also...
>
> Danke im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Sa 26.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
Ach ja natürlich stimmt. Der von dir genannte Grenzwert muss natürlich existieren und ist f'(x). Somit ist die Äquivalenz gezeigt :) Dankeschön :)
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