Schrödinger-Gleichung lösen < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Mo 17.10.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | In eine Intersubband-Potential erfolgt die Lichtemission durch den elektrischen Übergang zwischen dem zweiten und dem ersten Elektronenenergieniveau wie in der Abbildung gezeigt.
http://imageshack.us/photo/my-images/685/61429034.jpg/
Die Potentialbarrieren können als unendlich hoch angesehen werde, die Breite des eindimensionalen Potentialtopfes a beträgt 10 nm. |
Die Schrödinger-Gleichung habe ich aufgestellt:
[mm] \frac{\delta^{2}}{\delta x^{2}}u(x) [/mm] + [mm] \frac{2mE}{(h/2)^{2}}U(x) [/mm] =0 für 0<x<a.
Die Randbedingungen sind:
U(0) = 0
U(a) = 0
Keine Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des Pot.Topfes.
Nun soll ich einen geeigneten Ansatz finden und die Differentialgleichung lösen.
Jetzt weiß ich nicht, wie man beim Lösen von Differentialgleichungen vorgeht.
Hat Jemand ein Tipp für mich.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mo 17.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Für welche wohlbekannten Funktionen gilt denn f''=-a*f
nichts anderes steht doch da!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mo 17.10.2011 | | Autor: | zoj |
Also die e-Funktion abgeleitet ergibt wieder eine e-Funktion.
Aber wie löse ich jetzt damit die Differentailgleichung?
|
|
|
| |
|
Hallo zoj,
> Also die e-Funktion abgeleitet ergibt wieder eine
> e-Funktion.
>
> Aber wie löse ich jetzt damit die Differentailgleichung?
>
Wähle den Ansatz [mm]u\left(x\right)=e^{\lambda*x}[/mm]
Damit gehst Du in die DGL und ermittelst die Lösungen für [mm]\lambda[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 17.10.2011 | | Autor: | zoj |
Danke für den Ansatz!
Ich bekomme folgendes raus:
[mm] u(x)=e^{\lambda x}
[/mm]
[mm] \frac{\delta^{2}}{\delta x^{2}}e^{\lambda x} [/mm] + [mm] \frac{2mE}{(h/2)^{2}}e^{\lambda x}
[/mm]
Jetzt wende ich "Separation der Variablen an"
[mm] \frac{\delta^{2}}{\delta x^{2}}e^{\lambda x} [/mm] = - [mm] \frac{2mE}{(h/2)^{2}}e^{\lambda x}
[/mm]
Jetzt zweimal nach x integrieren:
[mm] \frac{1}{\lambda^{2}}e^{\lambda x} [/mm] = [mm] -\frac{1}{\lambda^{2}} \frac{2mE}{(h/2)}e^{\lambda x}
[/mm]
Ist es bis dahin in Ordnung?
wenn ich weiter rechne komme ich auf: [mm] log(-\frac{(h/2)}{\lambda^{2}2mE})
[/mm]
Aber das ist ja keine Lösung von [mm] \lambda. [/mm] Probiere gerade verschiedene Möglichkeiten aus, um an [mm] \lambda [/mm] zu kommen.
Hast du mal ein Tipp für mich?
|
|
|
| |
|
Hallo zoj,
> Danke für den Ansatz!
>
> Ich bekomme folgendes raus:
>
> [mm]u(x)=e^{\lambda x}[/mm]
> [mm]\frac{\delta^{2}}{\delta x^{2}}e^{\lambda x}[/mm]
> + [mm]\frac{2mE}{(h/2)^{2}}e^{\lambda x}[/mm]
>
> Jetzt wende ich "Separation der Variablen an"
> [mm]\frac{\delta^{2}}{\delta x^{2}}e^{\lambda x}[/mm] = -
> [mm]\frac{2mE}{(h/2)^{2}}e^{\lambda x}[/mm]
>
> Jetzt zweimal nach x integrieren:
> [mm]\frac{1}{\lambda^{2}}e^{\lambda x}[/mm] =
> [mm]-\frac{1}{\lambda^{2}} \frac{2mE}{(h/2)}e^{\lambda x}[/mm]
>
Integrieren ist hier nicht richtig.
Wenn Du den Ansatz in die DGL einsetzt, erhältst Du:
[mm]\lambda^{2}*e^{\lambda*x}=-\frac{2mE}{(h/2)^{2}}e^{\lambda x}[/mm]
Koeffizientenvergliech liefert:
[mm]\lambda^{2}=-\frac{2mE}{(h/2)^{2}}[/mm]
Daraus folgen dann die Lösungen für [mm]\lambda[/mm]
Da [mm]\lambda \in \IC[/mm] ist sowohl der Realteil
als auch der Imaginärteil von [mm]e^{\lambda*x}[/mm] Lösung der DGL.
> Ist es bis dahin in Ordnung?
>
> wenn ich weiter rechne komme ich auf:
> [mm]log(-\frac{(h/2)}{\lambda^{2}2mE})[/mm]
> Aber das ist ja keine Lösung von [mm]\lambda.[/mm] Probiere gerade
> verschiedene Möglichkeiten aus, um an [mm]\lambda[/mm] zu kommen.
> Hast du mal ein Tipp für mich?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mo 17.10.2011 | | Autor: | zoj |
Super!
Damit kommt man auf
[mm] \lambda_{1}=\frac{2mE}{(h/2)} [/mm]
[mm] \lambda_{2}=-\frac{2mE}{(h/2)}
[/mm]
Das heißt, dass die Schrödinger-Gleichung für [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2} [/mm] eine Null als Lösung liefert, richtig?
Hmm..
Laut der Musterlösung sollte man auf:
[mm] \frac{2mE}{(h/2)^{2}} [/mm] - [mm] \frac{n^{2} \pi^{2}}{a^{2}} [/mm] = 0
=> E = [mm] \frac{(h/2)^{2} \pi^{2}}{2ma^{2}}n^{2}
[/mm]
Ich frage mich, woher der zweite Term kommt.
In der Musterlösung löst man die Differentialgleichung über 3 Seiten, dabei tauch manchmal sin auf. Total unverständlich...
Das Ziel ist ja die Enegie zu berechnen, um von dem Neveau n=1 auf das Niveau n=2 zu kommen.
Hat Jemand eine Idee? Soll ich vieleicht die Musterlösung hochladen?
|
|
|
| |
|
Hallo zoj,
> Super!
> Damit kommt man auf
> [mm]\lambda_{1}=\frac{2mE}{(h/2)}[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=-\frac{2mE}{(h/2)}[/mm]
>
Es muss heißen:
[mm]\lambda_{1}=-j*\frac{\wurzel{2mE}}{(h/2)}[/mm]
[mm]\lambda_{2}=+j*\frac{\wurzel{2mE}}{(h/2)}[/mm]
> Das heißt, dass die Schrödinger-Gleichung für
> [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2}[/mm] eine Null als Lösung liefert,
> richtig?
>
> Hmm..
> Laut der Musterlösung sollte man auf:
> [mm]\frac{2mE}{(h/2)^{2}}[/mm] - [mm]\frac{n^{2} \pi^{2}}{a^{2}}[/mm] = 0
> => E = [mm]\frac{(h/2)^{2} \pi^{2}}{2ma^{2}}n^{2}[/mm]
>
> Ich frage mich, woher der zweite Term kommt.
> In der Musterlösung löst man die Differentialgleichung
> über 3 Seiten, dabei tauch manchmal sin auf. Total
> unverständlich...
>
Nun, da [mm]\lambda \in \IC[/mm] sind,
sind Sinus-und Cosinusfunktionen Lösungen der DGL.
Damit ist Lösung der DGL
[mm]u\left(x\right)=c_{1}*\sin\left(\lambda*x\right)+c_{2}*\cos\left(\lambda*x\right)[/mm]
Durch Einsetzen der Randbedingungen erhältst Du
die in der Musterlösung angegebene Lösung.
> Das Ziel ist ja die Enegie zu berechnen, um von dem Neveau
> n=1 auf das Niveau n=2 zu kommen.
>
> Hat Jemand eine Idee? Soll ich vieleicht die Musterlösung
> hochladen?
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mo 17.10.2011 | | Autor: | zoj |
Erstmal vielen Dank, dass du dir Zeit nimmst mir zu helfen!
> Nun, da [mm]\lambda \in \IC[/mm] sind,
> sind Sinus-und Cosinusfunktionen Lösungen der DGL.
>
> Damit ist Lösung der DGL
>
> [mm]u\left(x\right)=c_{1}*\sin\left(\lambda*x\right)+c_{2}*\cos\left(\lambda*x\right)[/mm]
>
> Durch Einsetzen der Randbedingungen erhältst Du
> die in der Musterlösung angegebene Lösung.
Meine Randbedinungen sind:
u(0) = 0
u(a) = 0
Nun gilt es die Randbedigungen zu verarbeiten.
So wie ich das sehe, muss ich die Gleichung so "einstellen", dass die Randbedingungen erfüllt sind.
[mm] u(x)=c_{1}*\sin(\lambda*x)+c_{2}*\cos(\lambda*x)
[/mm]
[mm] u(0)=c_{1}*\sin(\lambda*0)+c_{2}*\cos(\lambda*0) [/mm] = [mm] c_{2}
[/mm]
Damit die Gleichung erfüllt ist, muss [mm] c_{2} [/mm] Null sein.
[mm] u(a)=c_{1}*\sin(\lambda*a)+c_{2}*\cos(\lambda*a)
[/mm]
Damit auch diese Gleichung erfüllt ist, muss auch [mm] c_{1} [/mm] null sein.
Daraus folgt:
u(x)= [mm] \sin(\lambda*x)+\cos(\lambda*x)
[/mm]
Damit hätte ich die Lösungsgleichung an die Randbedingungen angepasst.
Jetzt weiß ich nicht, wie es weitergeht...
|
|
|
| |
|
Hallo zoj,
> Erstmal vielen Dank, dass du dir Zeit nimmst mir zu helfen!
>
>
> > Nun, da [mm]\lambda \in \IC[/mm] sind,
> > sind Sinus-und Cosinusfunktionen Lösungen der DGL.
> >
> > Damit ist Lösung der DGL
> >
> >
> [mm]u\left(x\right)=c_{1}*\sin\left(\lambda*x\right)+c_{2}*\cos\left(\lambda*x\right)[/mm]
> >
> > Durch Einsetzen der Randbedingungen erhältst Du
> > die in der Musterlösung angegebene Lösung.
>
> Meine Randbedinungen sind:
> u(0) = 0
> u(a) = 0
>
> Nun gilt es die Randbedigungen zu verarbeiten.
> So wie ich das sehe, muss ich die Gleichung so
> "einstellen", dass die Randbedingungen erfüllt sind.
> [mm]u(x)=c_{1}*\sin(\lambda*x)+c_{2}*\cos(\lambda*x)[/mm]
>
> [mm]u(0)=c_{1}*\sin(\lambda*0)+c_{2}*\cos(\lambda*0)[/mm] = [mm]c_{2}[/mm]
> Damit die Gleichung erfüllt ist, muss [mm]c_{2}[/mm] Null sein.
>
> [mm]u(a)=c_{1}*\sin(\lambda*a)+c_{2}*\cos(\lambda*a)[/mm]
> Damit auch diese Gleichung erfüllt ist, muss auch [mm]c_{1}[/mm]
> null sein.
>
Es ist eine von der Nullfunktion verschiedene Lösung gesucht,
daher muss [mm]c_{1} \not=0[/mm] sein und damit muß
[mm]\sin\left(\lambda*a\right)=0[/mm]
sein.
> Daraus folgt:
> u(x)= [mm]\sin(\lambda*x)+\cos(\lambda*x)[/mm]
> Damit hätte ich die Lösungsgleichung an die
> Randbedingungen angepasst.
>
> Jetzt weiß ich nicht, wie es weitergeht...
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mo 17.10.2011 | | Autor: | zoj |
Aha!
Das heißt:
[mm] sin(\lambda [/mm] a) =0
Damit sin gleich Null ist, muss gelten: [mm] \lambda [/mm] a = n [mm] \pi
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \frac{n \pi}{a}
[/mm]
Damit lautet die Lösung des Differentialgleichungsystems für
[mm] \lambda_{1}= \frac{\sqrt{2mE}j}{(h/2)} [/mm] = [mm] \frac{n \pi}{a} [/mm] ||Quadrieren
=> [mm] \frac{-2mE}{(h/2)^{2}} [/mm] = [mm] \frac{n^{2} \pi^{2}}{a^{2}}
[/mm]
=> E= [mm] \frac{-(h/2)^{2}n^{2} \pi^{2}}{2ma^{2}}
[/mm]
[mm] \lambda_{2}= \frac{-\sqrt{2mE}j}{(h/2)} [/mm] = [mm] \frac{n \pi}{a} [/mm] ||Quadrieren
=> [mm] \frac{2mE}{(h/2)^{2}} [/mm] = [mm] \frac{n^{2} \pi^{2}}{a^{2}}
[/mm]
=> E= [mm] \frac{(h/2)^{2}n^{2} \pi^{2}}{2ma^{2}}
[/mm]
Ich bekomme zwei Energieformeln. Welche ist nun die richtige?
Ist es überhaupt normal, dass man zwei bekommt? Muss man beide Lambdas einsetzen?
|
|
|
| |
|
Hallo zoj,
> Aha!
>
> Das heißt:
> [mm]sin(\lambda[/mm] a) =0
> Damit sin gleich Null ist, muss gelten: [mm]\lambda[/mm] a = n [mm]\pi[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\frac{n \pi}{a}[/mm]
>
> Damit lautet die Lösung des Differentialgleichungsystems
> für
> [mm]\lambda_{1}= \frac{\sqrt{2mE}j}{(h/2)}[/mm] = [mm]\frac{n \pi}{a}[/mm]
> ||Quadrieren
> => [mm]\frac{-2mE}{(h/2)^{2}}[/mm] = [mm]\frac{n^{2} \pi^{2}}{a^{2}}[/mm]
>
> => E= [mm]\frac{-(h/2)^{2}n^{2} \pi^{2}}{2ma^{2}}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{2}= \frac{-\sqrt{2mE}j}{(h/2)}[/mm] = [mm]\frac{n \pi}{a}[/mm]
> ||Quadrieren
> => [mm]\frac{2mE}{(h/2)^{2}}[/mm] = [mm]\frac{n^{2} \pi^{2}}{a^{2}}[/mm]
>
> => E= [mm]\frac{(h/2)^{2}n^{2} \pi^{2}}{2ma^{2}}[/mm]
>
> Ich bekomme zwei Energieformeln. Welche ist nun die
> richtige?
Nun, das [mm]\lambda[/mm] ist hier reell,
somit erübrigt sich die Frage, welche Formel die Richtige ist.
> Ist es überhaupt normal, dass man zwei bekommt? Muss man
> beide Lambdas einsetzen?
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 17.10.2011 | | Autor: | zoj |
> Nun, das [mm]\lambda[/mm] ist hier reell,
> somit erübrigt sich die Frage, welche Formel die Richtige
> ist.
Das verstehe ich nicht ganz.
Das Lambda [mm] \lambda [/mm] aus der Nebenbedingung ist reell.
Die Lambdas [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2} [/mm] der DGL sind komplex mit untersciedlichen Vorzeichen.
Dann habe ich einfach gleichgesetzt:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda_{1}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda_{2}
[/mm]
Woher weiß ich, welche Kombination die richtige ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mo 17.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast [mm] \lambda_2 [/mm] falsch quadriert!
eigentlich weißt du doch dass [mm] \lambda_1^2=\lambda_2^2 [/mm] ist, woher hattest du denn die 2 versch. [mm] \lambda?
[/mm]
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Di 18.10.2011 | | Autor: | zoj |
Achja, stimmt.
Dann kommt für E folgendes raus:
E= $ [mm] -\frac{(h/2)^{2}n^{2} \pi^{2}}{2ma^{2}} [/mm] $
Laut der Musterlösung, soll E positiv sein.
E= $ [mm] \frac{(h/2)^{2}n^{2} \pi^{2}}{2ma^{2}} [/mm] $
Bin die ganze Rechnung nochmal durchgegangen aber es kommt immer was negatives raus. Habe ich was übersehen?
|
|
|
| |
|
Hallo zoj,
> Achja, stimmt.
>
> Dann kommt für E folgendes raus:
> E= [mm]-\frac{(h/2)^{2}n^{2} \pi^{2}}{2ma^{2}}[/mm]
>
> Laut der Musterlösung, soll E positiv sein.
> E= [mm]\frac{(h/2)^{2}n^{2} \pi^{2}}{2ma^{2}}[/mm]
>
> Bin die ganze Rechnung nochmal durchgegangen aber es kommt
> immer was negatives raus. Habe ich was übersehen?
>
Mit [mm]\lambda[/mm] ist der Imaginärteil von [mm]\lambda_{1}[/mm] bzw. [mm]\lambda_{2}[/mm] gemeint.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Di 18.10.2011 | | Autor: | zoj |
> Mit [mm]\lambda[/mm] ist der Imaginärteil von [mm]\lambda_{1}[/mm] bzw.
> [mm]\lambda_{2}[/mm] gemeint.
>
> Gruss
> MathePower
AH! Jetzt vertshe ich. Beim Imaginärteil, fällt die Einheit "j" weg!
Jetzt komme ich auch auf die Musterlösung.
Vielen Dank für die Hilfe!!!
|
|
|
|
