Schrödingergleichung Energie < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wie lautet die zeitabhängige Schrödingergleichung für ein freies Teilchen?
Zeige, dass [mm] \psi(x,t) \sim e^{-i(kx-\omega t)} [/mm] Lösung dieser Gleichung ist. |
Hallo,
hab die Aufgabe schon fast gelöst, fehlt nur noch der letzte Schritt.
die SG ist doch (nur in x-Dimension):
[mm] -i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi.
[/mm]
Wenn ich dann die Ableitungen betrachte:
[mm] \frac{\partial \psi}{\partial t}=-i\omega\psi
[/mm]
[mm] \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{\hbar k^2}{2m}
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] \hbar \omega \psi=\frac{(\hbar k)^2}{2m}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \hbar \omega=\frac{(\hbar k)^2}{2m}
[/mm]
Nun ist ja: [mm] \hbar \omega=hf=E, [/mm] aber warum ist die rechte Seite das auch?
kann man [mm] (\hbar k)^2 [/mm] irgendwie als [mm] p^2 [/mm] schreiben? Mir macht dieses k etwas zu schaffen.
Oder wie schreibe ich die rechte Seite weiter um, sodass ich die Gleichheit sehen kann?
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 So 14.03.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
wie du schon richtig angedeutet hast gilt in der Tat
p = [mm] \hbar [/mm] * k wobei k die sogenannte Wellenzahl ist, also [mm] k=[\bruch{1}{m}]
[/mm]
Damit kommst du dann auf [mm] E=\bruch{p^{2}}{2m}, [/mm] was eine typische Energie z.B. für einen Potentialkasten ist.
Hoffe, das hilft dir weiter
Gruß Sierra
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