Schubfachprinzip < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Sa 27.03.2010 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Eine natürliche Zahl n mit 1 [mm] \le [/mm] n < 10.000 ist gegeben und es ist bekannt, dass weder 2 noch 5 Teiler von n sind. Beweisen Sie mit Hilfe des Schubfachprinzips, dass es Vielfache von n gibt, die nur aus der Ziffer 1 bestehen. Wie viele Ziffern hat die kleinste dieser Vielfachen? |
Hallo,
ich habe also folgende Objekte 1,2,3,4, ...., 9.999, insgesamt 10.000 Zahlen. Die Zahlen 2 und 5 sind keine Teiler von n. Somit schränken sich die Objekte noch weiter ein: 1,3,7,9,11,13 .....
Wie viele Zahlen / Objekte bleiben dann noch übrig?
Es fehlen somit alle geraden Zahlen, es kann nur ungerade n geben, zudem darf n nicht durch 5 teilbar sein ohne Rest.
Nun soll man mit dem Schubfachprinzip zeigen, das es Vielfache von n gibt, die nur aus der Ziffer 1 bestehen.
Man muss somit Kategorien einführen, damit die Zahlen darin abgelegt werden können.
Ich verstehe nur nicht, wie man ds mit dem Schubfachprinzip zeigt. Das Schubfachprinzip sagt doch nur aus: Falls man n Objekte auf m Mengen (n,m > 0) verteilt, und n größer als m ist, dann gibt es mindestens eine Menge, in der mehr als ein Objekt landet.
Beispielsweise kann ich doch direkt für die 1 zeigen, das es Vielfache gibt, die nur aus der Ziffer 1 bestehen: 1,11,111,1111, ....
Wie viele Ziffern hat die kleinste dieser Vielfachen? Antwort: 1
Habe ich etwas falsch verstanden oder übersehen? Wie wäre denn ein Ansatz um es zu zeigen?
Vielen Dank
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 So 28.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Beispielsweise kann ich doch direkt für die 1 zeigen, das
> es Vielfache gibt, die nur aus der Ziffer 1 bestehen:
> 1,11,111,1111, ....
>
> Wie viele Ziffern hat die kleinste dieser Vielfachen?
> Antwort: 1
Hier wäre dann [m]n=1[/m]. Du sollst aber zeigen, dass für beliebiges n mit obiger Eigenscahft ein Vielfaches gibt, dass nur aus 1en besteht. Einen Ansatz dazu habe ich leider nicht - jedenfalls darfst du auch mit keiner Zahl multiplizieren, die durch 2 oder 5 teilbar ist (vielleicht kann man dann abschätzen wieviel Zahlen herauskommen, und wenn man noch die mit nur 1ern abzieht, dies zu wenig wären? Aber das gnge dann schon Richtung unendlich)
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 So 28.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Eine natürliche Zahl n mit 1 [mm]\le[/mm] n < 10.000 ist gegeben
> und es ist bekannt, dass weder 2 noch 5 Teiler von n sind.
> Beweisen Sie mit Hilfe des Schubfachprinzips, dass es
> Vielfache von n gibt, die nur aus der Ziffer 1 bestehen.
> Wie viele Ziffern hat die kleinste dieser Vielfachen?
> Hallo,
>
> ich habe also folgende Objekte 1,2,3,4, ...., 9.999,
> insgesamt 10.000 Zahlen. Die Zahlen 2 und 5 sind keine
> Teiler von n. Somit schränken sich die Objekte noch weiter
> ein: 1,3,7,9,11,13 .....
>
> Wie viele Zahlen / Objekte bleiben dann noch übrig?
>
> Es fehlen somit alle geraden Zahlen, es kann nur ungerade n
> geben, zudem darf n nicht durch 5 teilbar sein ohne Rest.
>
> Nun soll man mit dem Schubfachprinzip zeigen, das es
> Vielfache von n gibt, die nur aus der Ziffer 1 bestehen.
>
> Man muss somit Kategorien einführen, damit die Zahlen
> darin abgelegt werden können.
>
Hallo,
da teilerfremd zu 2 und 5 ist, ist n auch teilerfremd zu jeder Zehnerpotenz.
Somit nehmen n, 2n, 3n, 4n,... alle mögliche Reste an, die eine Zahl bei Teilung durch diese Zehnerpotenz haben kann.
Als Gegenbeispiel nehmen wir mal n=25. Die Vielfachen davon lassen bei Teilung z.B. durch 100 nur 4 verschiedene Reste, whrend z.B. die ersten 100 Vielfachen von 99 tatsächlich ale 100 möglichen Reste mod 100 lassen.
Da die Endziffern einer Zahl dem Rest der Zahl bei Teilung durch eine Zehnerpotenz entsprechen, solltest du in diese Richtung forschen.
Gruß Abakus
> Ich verstehe nur nicht, wie man ds mit dem Schubfachprinzip
> zeigt. Das Schubfachprinzip sagt doch nur aus: Falls man n
> Objekte auf m Mengen (n,m > 0) verteilt, und n größer
> als m ist, dann gibt es mindestens eine Menge, in der mehr
> als ein Objekt landet.
>
>
> Beispielsweise kann ich doch direkt für die 1 zeigen, das
> es Vielfache gibt, die nur aus der Ziffer 1 bestehen:
> 1,11,111,1111, ....
>
> Wie viele Ziffern hat die kleinste dieser Vielfachen?
> Antwort: 1
>
> Habe ich etwas falsch verstanden oder übersehen? Wie wäre
> denn ein Ansatz um es zu zeigen?
>
>
> Vielen Dank
> itse
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