Schwache Ableitung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $f [mm] \in C(\Omega)$ [/mm] eine Funktion mit der schwachen Ableitung $Df [mm] \in C(\Omega)^n$. [/mm]
Behauptung: $ Df$ ist dann auch die gewöhnliche (klassische)
Ableitung von $f$. |
Hallo,
[mm] $\Omega$ [/mm] bezeichnet immer ein Gebiet im [mm] $\mathbb R^n$. [/mm] Eine Funktion $f [mm] \in L^1_{loc}(\Omega)$ [/mm] hat eine $a.$-te schwache Ableitung, wenn es eine Funktion [mm] $f_a \in L^1_{loc}(\Omega)$ [/mm] gibt, so dass gilt:
[mm] $$\int_\Omega [/mm] f [mm] D^a \phi [/mm] \ dx = [mm] (-1)^{\left | a \right |}\int_\Omega f_a \phi\ [/mm] dx$$
für alle [mm] $\phi \in C^\infty_0(\Omega)$.
[/mm]
Wenn eine Funktion klassisch differenzierbar ist, dann stimmt die klassische Ableitung mit der schwachen Ableitung überein. Das ist mir klar; beim Beweis wendet man das Fundamentallemma der Variationsrechnung an.
Aber hier liegt ja sozusagen der umgekehrte Fall vor.
Könnt ihr mir zu dieser Aufgabe einen Tipp geben?
Viele Grüße,
Fabi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 06.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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