Schwere Rotationskörperaufgabe < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mo 17.01.2005 | | Autor: | delee |
Hallo erstmal!
Ich habe in der nächsten Zeit eine Präsentation vorzubereiten, die eine Aufgabe enthält, die ich nicht alleine Lösen kann. Vllt findet einer von euch ein paar Minuten Zeit über die Aufgabe zu schauen und vllt einen Tip zu geben.
Hier die Aufgabe:
Entwickeln Sie eine Methode, das Volumen eines Apfelweinkrugs möglichst genau zu berechnen. Verwenden Sie dabei mathematische Modelle aus der Analysis.
Bestimmen Sie auch das Volumen eines möglichen Lösungsweges.
Hier meine Ansätze:
- Für alle nicht-Hessen befindet sich im Anhang ein Bild eines Apfelweinkrugs =)
- Es muss sich um eine Rotationskörperaufgabe handeln, nach Guldin.
Hier meine Problem:
- Der Krug hat verschiede Durchmesser bzw. Radien
- Ich weiß nicht wie ich mit den ständig ändernden Radien umgehen soll
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mo 17.01.2005 | | Autor: | dominik |
Das Bild des Weinkrugs konnte ich nicht sichtbar machen, aber aus Deiner Schilderung:
> - Der Krug hat verschiede Durchmesser bzw. Radien
> - Ich weiß nicht wie ich mit den ständig ändernden Radien
> umgehen soll
schliesse ich, dass es sich um ein "Rotationsintegral" handeln könnte.
Vorgehen:
(1) Bestimme im Koordinatensystem die Gleichung einer Funktion, die den Rand des Querschnitts des Kruges so genau wie möglich wiedergibt.
(2) Bestimme eine untere (a) und eine obere (b) Grenze auf der x-Achse.
(3) Der Graf der Funktion f und die beiden Grenzen a und b bestimmen nun eine krummlinige Fläche, die um die x-Achse rotiert.
Das dazu passende Volumen hat den folgenden Wert:
[mm]V= \pi \integral_{a}^{b} {[f(x)^2] dx}[/mm]
Durch dieses Integral, das ja der Grenzwert einer Summe ist, werden die von a nach b sich ständig verändernden Radien mit einbezogen. Diese Radien werden durch [mm]f(x)[/mm] ausgedrückt; [mm][f(x)]^2[/mm] entspricht dem Wert [mm]r^2[/mm] in der Volumenformel [mm]V=r^2*\pi*h[/mm] für den Zylinder; das Intervall[a,b] entspäche dann der Höhe h.
Wichtig bei der Berechnung ist, dass der Funktionsterm quadriert wird, bevor die Stammfunktion bestimmt wird.
Konkret könnte die Gleichung der Randfunktion etwa die folgende Form haben:
[mm]f(x)=- \bruch{1}{20}x^2+3[/mm]
Dies ist eine ziemlich flache, nach unten geöffnete quadratische Parabel, die um 3 Einheiten nach oben verschoben ist und symmetrisch zur y-Achse verläuft. Zusammen mit den Grenzen -4 und +4 (für a und b) würde bei einer Rotation um die x-Achse eine Art Krug entstehen (liegend). Ob dies aber ein Apfelweinkrug ist ... ?
Viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Mo 17.01.2005 | | Autor: | delee |
1. Danke für den tiefen Einblick, so wie du das erklärt hast kann ich mir das sogar vorstellen auch wenn meine Mathe-Stärken weniger in der Analysis leigen ;)
2. Mir war irgendwie klar, dass ich den Anhang vergessen würde...sorry for that! Jetzt dürfte er im Anhang sein, zur Verdeutlichung
3. Ich werde versuchen die Aufgabe in den nächsten Tagen so zu lösen und bei Problemen nochmals nachfragen, wenns nichts ausmacht :)
danke ;)
![[]](/images/popup.gif) Krug
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Mo 17.01.2005 | | Autor: | dominik |
Das ist wirklich ein schöner Krug!
Die beschriebene Berechnung könnte so durchgeführt werden. Zusätzlich würde ich an jedem Ende einen Zylinder dazu fügen: einen für den Boden und den andern, etwas grösseren, für die Öffnung oben.
Viel Vergnügen!
dominik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 Di 18.01.2005 | | Autor: | informix |
Hallo delee,
der "umgelegte" Krug erinnert mich an eine e-Funktion:
$f(x)= [mm] \bruch{1}{e^{0,5*x^2}}+1$
[/mm]
Wenn man dann von -2 bis 3,5 integriert, hat man "Links" den Boden (etwas breiter als der Hals) und "rechts" den etwas verlängerten Hals des Krugs.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man kann daraus eine  Steckbriefaufgabe machen, indem man einige Punkte exakt angibt, durch die die Funktion gehen soll, und sich dann einen Ansatz mit [mm] $\bruch{a}{e^{bx^2}}+ [/mm] c$ macht.
Dabei ist c im wesentlichen der Radius der Boden- und Deckelflächen.
Wer findet den schönsten Bembel?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Di 18.01.2005 | | Autor: | delee |
Hallo Informix,
danke, dass auch du dich dem Problem mal annimmst!
Ich denke eine Kombination der beiden Vorschläge wäre die perfekte Lösung!
Auf die e-Funktion wäre ich von alleine auch nicht gekommen.
Leider ist der Krug nicht ganz symmetrisch, aber ich kenne keine Art Funktion, die dem Krug näher kommen würde als die e-Funktion.
Thanks a lot =)
Lee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mi 02.02.2005 | | Autor: | delee |
Hallo zusammen!
Habe doch noch ein Problem gefunden.
Und zwar habe ich mich im nachhinein doch gegen eine e-funktion entschieden und stattdessen für diese hier $ f(x) = [mm] -\bruch{1}{5}x^{2}+3 [/mm] $.
Jetzt ist mir aber dummerweise aufgefallen, dass es verschiedene Größen von Krügen gibt. Mit meiner Funktion komme ich zwar auf ein Volumen, aber was muss ich tun, um dieses zu erhöhen?
Wenn wir jetzt davon ausgehen, dass ich das Volumen eines $0,5 L$ Krugs habe. Wie komme ich auf das Volumen von zum Beispiel einem $1 L$ Krugs?
Kann man hier eine weitere Variable dazu nehmen?
Vielen Dank im voraus,
lg Lee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hallo zusammen!
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> Habe doch noch ein Problem gefunden.
> Und zwar habe ich mich im nachhinein doch gegen eine
> e-funktion entschieden und stattdessen für diese hier [mm]f(x) = -\bruch{1}{5}x^{2}+3 [/mm].
>
>
> Jetzt ist mir aber dummerweise aufgefallen, dass es
> verschiedene Größen von Krügen gibt. Mit meiner Funktion
> komme ich zwar auf ein Volumen, aber was muss ich tun, um
> dieses zu erhöhen?
> Wenn wir jetzt davon ausgehen, dass ich das Volumen eines
> [mm]0,5 L[/mm] Krugs habe. Wie komme ich auf das Volumen von zum
> Beispiel einem [mm]1 L[/mm] Krugs?
>
> Kann man hier eine weitere Variable dazu nehmen?
>
> Vielen Dank im voraus,
> lg Lee
>
Hallo Lee,
das Problem mit den verschiedenen Größen können wir lösen, indem wir uns überlegen welche
Unterschiede es zwischen großen und kleinen Krügen gibt. Dazu schauen wir uns am besten das
Bild an. Der große Krug ist höher und breiter als der kleinere. Überlegen wir uns, wo die Höhe
in unsere Funktion eine Rolle spielt, so kommen wir auf die Intervallgrenzen $a, b$ . Je größer
ihre Differenz, desto höher der Krug. Da die Form des Kruges beibehalten werden soll, müssen $a, b$ etwa
gleich weit vom Ursprung entfernt sein. Soll der Bauch in der Mitte des Kruges sein, so würde ich folgenden
Zusammenhang empfehlen $a=-b$ .
So weiter zum nächsten Problem, die Breite des Krugs. Sie wird bestimmt durch die Funktionswerte, die dem
Radius entsprechen. Den Radius können wir also vergrößern, indem wir die Kurve nach oben verschieben und
das tun wir, wenn wir die additive Konstante (bei deiner Funktion$3$) vergrößern.
Sinnvoll für variable Volumina wäre die Berechnung vom Verhältnis von Höhe und Breite des Kruges.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Do 03.02.2005 | | Autor: | delee |
hi!
sowas ähnliches hatte ich mir auch schon überlegt, nur wann weiß ich denn für was für eine größe von Krug ich das Volumen ausgerechnet habe?
Ich schätze ich muss meinen Krug einfach mal ausmessen nach Höhe und Breite.
Wunderbar, vielen Dank!
Damit dürfte der Threat komplett sein :)
Gruß Lee
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![[]](http://www.girmscheid.de/ansichten/bembel.jpg){kind=small}
Krug