Schweres Eigenwertproblem < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:43 So 06.05.2012 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle!
[mm] \textbf{Problem}: [/mm] Bei meinen Berechnungen bin ich auf ein Eigenwertproblem von folgender Form gestoßen:
[mm] $\pmat{ \bf{0} & -\bf{S} \\ \bf{S} & \bf{0} }\vektor{a \\ b}=\lambda\vektor{a \\ b}$
[/mm]
Hierbei sind [mm] $a,b\in\IR^d$ [/mm] mit [mm] $(a,b)^T\neq (0,0)^T$, $\bf{S}\in\IR^{d,d}$ [/mm] schief-symmetrisch, [mm] $\bf{0}\in\IR^{d,d}$, $\lambda\in\IR$, $d\geqslant [/mm] 2$.
[mm] \textbf{Frage}: [/mm] Irgendwie gelingt es mir jedoch nicht, die Eigenwerte für beliebige Dimension $d$ und die dazugehörigen Eigenvektoren zu bestimmen. Ist dieses Problem grundsätzlich nicht ohne weiteres lösbar oder hat jemand eine Idee?
[mm] \textbf{Beobachtung}: [/mm] Mir ist bereits aufgefallen, dass insofern $d$ ungerade ist, [mm] $\lambda=0$ [/mm] grundsätzlich ein Eigenwert ist. Desweiteren gilt für beliebige Dimension $d$, dass alle Eigenwerte doppelt sind. Und ich habe festgestellt, dass
$d=2$: [mm] $\lambda_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{1}{2}\mathrm{spur}(-S^2)}$
[/mm]
$d=3$: [mm] $\lambda_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{1}{2}\mathrm{spur}(-S^2)}$
[/mm]
[mm] $\lambda_3=0$
[/mm]
$d=4$: [mm] $\lambda_{1,2,3,4}=\pm\sqrt{\frac{1}{4}\mathrm{spur}(-S^2)\pm\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{1}{2}\mathrm{spur}(-S^2)+\sqrt[4]{\mathrm{det}(-2S^2)})(\frac{1}{2}\mathrm{spur}(-S^2)-\sqrt[4]{\mathrm{det}(-2S^2)})}}$
[/mm]
$d=5$: [mm] $\lambda_{1,2,3,4}=?$
[/mm]
[mm] $\lambda_5=0$
[/mm]
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Do 10.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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