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| Aufgabe | | Zwischen den Grafen der Fkt. [mm] y=\sqrt{x}, [/mm] y=-x+6 und y=0 liegt die ebene Fläche A. Berechnen Sie die Koord. des geometrischen Schwerpunktes. |
Hallo,
also der Schwerpunkt einer beliebigen Fläche berechnet sich doch durch:
[mm] x_{s}=\bruch{1}{A}* \integral_{a}^{b}{x*f(x) dx} [/mm] und
[mm] y_{s}=\bruch{1}{A}* \integral_{a}^{b}{\bruch{f²(x)}{2} dx}.
[/mm]
Den Flächeninhalt hätt ich einfach mit
[mm] A=\integral_{0}^{4}{\sqrt{x}} [/mm] + [mm] \bruch{a*h}{2} [/mm]
berechnet und wär auf A=7,333 gekommen.
Nun weiß ich aber nicht wie ich das mit der Zusammensetzung beim Schwerpunkt machen kann.
Sollt ich da den Schwerpunkt von Fläche I und II getrennt berechnen und addieren oder soetwas?
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Hallo!
> Zwischen den Grafen der Fkt. [mm]y=\sqrt{x},[/mm] y=-x+6 und y=0
> liegt die ebene Fläche A. Berechnen Sie die Koord. des
> geometrischen Schwerpunktes.
>
> Hallo,
>
> also der Schwerpunkt einer beliebigen Fläche berechnet sich
> doch durch:
>
> [mm]x_{s}=\bruch{1}{A}* \integral_{a}^{b}{x*f(x) dx}[/mm] und
> [mm]y_{s}=\bruch{1}{A}* \integral_{a}^{b}{\bruch{f²(x)}{2} dx}.[/mm]
>
> Den Flächeninhalt hätt ich einfach mit
> [mm]A=\integral_{0}^{4}{\sqrt{x}}[/mm] + [mm]\bruch{a*h}{2}[/mm]
> berechnet und wär auf A=7,333 gekommen.
>
> Nun weiß ich aber nicht wie ich das mit der Zusammensetzung
> beim Schwerpunkt machen kann.
> Sollt ich da den Schwerpunkt von Fläche I und II getrennt
> berechnen und addieren oder soetwas?
Mmh, das ist echt eine schwierige Frage... Aber ich glaube nicht, dass man die Fläche zerlegen darf, dann den Schwerpunkt berechnen und dann die beiden addieren oder so etwas. Der Schwerpunkt ist ja nicht irgendwie linear oder so...
Kann man nicht vielleicht die Funktion allgemein abschnittsweise definieren, also:
[mm] f(x)=\begin{cases} \wurzel{x}, & \mbox{für } x\in [0;4] \\ -x+6, & \mbox{für } x\in \;]4;6] \end{cases}
[/mm]
Und dann quasi abschnittsweise integrieren? Oder kommt das womöglich doch aufs Gleiche raus?
Mmh - sorry, bin mir da recht unsicher...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Danke für deine Antwort.
Wie meinst du das dann mit dem abschnittsweisen Integrieren?
[mm] \bruch{3}{22}* \integral_{0}^{4}{x*\sqrt(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{4}^{6}{(-x + 6)*x dx}
[/mm]
Aber da komm ich für den x Wert auf [mm] \bruch{774}{55}. [/mm] Was etwas abwegig erscheint
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Hallo Bastiane,
sorry, ich hatte die Klammern vergessen :)
Aber mal eine andere Frage zu diesen Thema:
Wenn ich
[mm] \integral{(-x + 6)^{2} dx} [/mm] integriere := [mm] \bruch{x^{3}}{3} [/mm] - [mm] 6*x^{2} [/mm] + 36·x - 72
[mm] \integral{x^{2} - 12*x + 36 dx} [/mm] := [mm] \bruch{x^{3}}{3} [/mm] - [mm] 6*x^2 [/mm] + 36*x
ist nicht das gleiche??? Das versteh ich nicht ganz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Mo 19.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo user.
> Hallo Bastiane,
>
> sorry, ich hatte die Klammern vergessen :)
>
> Aber mal eine andere Frage zu diesen Thema:
>
> Wenn ich
> [mm]\integral{(-x + 6)^{2} dx}[/mm] integriere := [mm]\bruch{x^{3}}{3}[/mm] -
> [mm]6*x^{2}[/mm] + 36·x - 72
Wie hast du das integriert? woher kommen die -72?
Aber solange du keine Grenzen einsetzt sind Integrale sowieso nur bis auf eine Konstante festgelegt.
Die allgemeine Stammfkt zu x ist [mm] 1/2x^{2}+C [/mm] (Beweis durch differenziern) da sollte man bei allgemeinen Integralen auch immer hinschreiben. wenn du 2 verschieden C hinschreibst bleiben die bestimmten Integrale immer dieselben!
> [mm]\integral{x^{2} - 12*x + 36 dx}[/mm] := [mm]\bruch{x^{3}}{3}[/mm] -
> [mm]6*x^2[/mm] + 36*x
>
Gruss leduart
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sorry, hab ich übersehen... danke leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Mo 19.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo user
> Danke für deine Antwort.
>
> Wie meinst du das dann mit dem abschnittsweisen
> Integrieren?
>
> [mm]\bruch{3}{22}* \integral_{0}^{4}{x*\sqrt(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{4}^{6}{(-x + 6)*x dx}[/mm]
>
> Aber da komm ich für den x Wert auf [mm]\bruch{774}{55}.[/mm] Was
> etwas abwegig erscheint
Du musst natürlich das Ganze , nicht nur das erst Integral mit 3/22 multipl. Aber du musst auch noch nen anderen Fehler haben.
Ich hab 3,.. raus, dieselben Integrale . 1. Integral: 64/5, 2. Integral 28/3
Gruss leduart
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Danke für deine Hilfe leduart,
also jetzt wirds komisch:
Wenn ich folgendes rechne:
[mm] \bruch{3}{22} [/mm] * [mm] (\integral_{0}^{4}{x\cdot{}\sqrt(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{4}^{6}{(-x + 6)\cdot{}x dx} [/mm] ) komm ich auf [mm] \bruch{166}{55}, [/mm] das heißt: [mm] x_s= \bruch{3}{22} [/mm] * [mm] (\bruch{64}{5}-(72-\bruch{64}{3})+(108-48))
[/mm]
....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mo 19.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo user
Genau das hab ich auch raus, wenn mans als Bruch schreibt. Was ist daran komisch?
Gruss leduart
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Achso, danke, hab das dann falsch verstanden, aber komisch is der Funktionswert dann bei mir:
[mm] y_{s}=\bruch{1}{A}\cdot{} \integral_{a}^{b}{\bruch{f²(x)}{2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{3}{22}\cdot{} \integral_{0}^{4}{\bruch{x}{2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{4}^{6}{\bruch{(-x+6)^{2}}{2} dx}
[/mm]
So und nun habe ich [mm] (-x+6)^{2} [/mm] in Form [mm] x^{2}-12x+36 [/mm] geschrieben, was aber ein Unterschied zu sein scheint, denn
[mm] \integral{(-x+6)^{2}}= \bruch{x^{3}}{3} [/mm] - [mm] 6\cdot{}x^{2} [/mm] + 36x - 72
[mm] \integral{x^{2}-12x+36}= \bruch{x^{3}}{3} [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 36x
oder habe ich was vergessen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mo 19.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo user
Ich hab das schon auf deine 1. Frage beantwortet! Lies dien posts!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Mo 19.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo user
Bastianes Idee ist 1005 richtig einfach das Integral über die zusammengesetzte Funktion berechnen. Das ist nicht dasselbe, wie die 2 Schwerpunkte addieren.
Gruss leduart.
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