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Ich muss zeigen, dass der Schwerpunkt von der speziellen Wahl von p unabhängig ist.
Gegeben ist dabei:
Sei (qi) i [mm] \in [/mm] I eine Familie von Punkten eines affinen Raumes A über K, sowie ( [mm] \alpha [/mm] i) i [mm] \in [/mm] I [mm] \inK^{I} [/mm] mit [mm] \summe_{i \in I }^{ } \alpha [/mm] i = 1 und p aus A beliebig.
Dann heißt x aus A, definiert durch [mm] \overrightarrow{px} [/mm] := [mm] \summe_{i \in I }^{ } \alpha i*\overrightarrow{pqi} [/mm] Schwerpunkt der Punkte qi mit Gewichten [mm] \alpha [/mm] i. Man schreibt auch x = [mm] summe_{i \in I }^{ } \alpha [/mm] i*qi.
Ich hoffe ihr könnt mir bei diesem Beweis helfen. Wenn ich mir das aufmale und konkret ausrechne, stimmt es immer, aber ich kann es nicht allgemein beweisen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ist $r$ ein weiterer Punkt, dann gilt ja:
[mm] $\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{p} [/mm] + [mm] \sum\limits_{i \in I} \alpha_i \vec{pq_i}$
[/mm]
$= [mm] \vec{p} [/mm] + [mm] \sum\limits_{i \in I} \alpha_i \left(\vec{pr}+ \vec{rq_i} \right)$
[/mm]
[mm] $=\vec{p} [/mm] + [mm] \left(\sum\limits_{i \in I} \alpha_i \right) \vec{pr}+ \sum\limits_{i \in I} \alpha_i \vec{r q_i}$
[/mm]
$= [mm] \vec{p} [/mm] + [mm] \vec{pr}+ \sum\limits_{i \in I} \alpha_i \vec{rq_i}$
[/mm]
$= [mm] \vec{r} [/mm] + [mm] \sum\limits_{i \in I} \alpha_i \vec{rq_i}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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