Schwerpunkt Rotationskörper < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Sei V ein Rotationskörper, dessen Rotationsachse die Z-Achse ist und dessen Mantellinie die Funktion
r : [mm] [a,b]\mapsto \mathbb{R}, [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] r(z)>0
definiert ist.
a) Bestimmen Sie eine allgemeine Formel für die z-koordinate des Schwerpunkts von V, die nur Einfachintegrale verwendet.
b) Überprüfen Sie anhand des Kegelstumpfs aus der Vorlesung, ob die Formel zu dem gleichen Ergebnis führt, das Sie schon aus der Vorlesung kennen.
[mm] (\frac{\pi}{3}(R^2 [/mm] +Rr + [mm] r^2)) [/mm] mit r als oberen und R als unteren Radius
Weiß nicht wirklich wo ich anfangen soll
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Fr 17.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
stell dir den Kreiskörper aus Kreisscheiben der Dicke dz vor, dann ist [mm] dm=\rho*r^2*\pi*dz
[/mm]
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Kann dem nicht so ganz folgen.
Bis jetzt habe ich die Menge V, die allgemein meinen Kegelstumpf/Körper beschreibt.
V ={ [mm] (r,\phi,z)|z\in[a,b], \phi \in[0,2\pi], [/mm] r [mm] \in[0,r(z)], [/mm] r(z)>0 }
[mm] \integral_{V}^{}=1 dV=\integral_{a}^{b}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{r(z)} [/mm] r dr [mm] d\phi [/mm] dz = ... = [mm] \pi \integral_{a}^{b}r^2(z) [/mm] dz
Jetzt habe ich ein Einfachintegral über die Höhe [mm] \in [/mm] [a,b] von der Fläche A des Rotationskörpers ???
Mir fehlt der Ansatz bzw. eine Formel für die Z-Koordinate ... Finde da nicht's
Schonmal Danke für die Hilfe !!!
|
|
|
| |
|
> Mir fehlt der Ansatz bzw. eine Formel für die Z-Koordinate
$\ [mm] z_S\ [/mm] =\ [mm] \frac{\integral_{V}z*dV}{\integral_{V}dV}$
[/mm]
|
|
|
|
