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| Aufgabe 1 | Ein Flaechenstueck der $xz$-Ebene ist begrenzt von dem Parabelbogen $x= [mm] \frac{2}{a}(2a^2-z^2)$ [/mm] mit [mm] $(-a\leq [/mm] z [mm] \leq [/mm] a)$ und der Geraden $x=2a$
i) Wo liegt der Schwerpunkt des Flaechenstuecks? |
| Aufgabe 2 | | ii) Wie gross ist das Volumen des Koerpers, der bei Rotation der Flaechenstuecks um die $z$-Achse entsteht? Wo liegt der Schwerpunkt. |
Hi,
zu i)
um eine genauere Vorstellung zu haben, habe ich das Ding erstmal fuer $a=2$ gezeichnet. [Dateianhang nicht öffentlich] (Achsennamen stimmen hier nicht, aber keine Ahnung wie ich das im Programm aendern kann)
Das dunkle Stueck ist ja meine Flaeche fuer die ich den Schwerpunkt finden soll.
Nun habe ich [mm] $z_s$ [/mm] und [mm] $x_s$ [/mm] wie folgt berechnet:
[mm] $z_s [/mm] = [mm] \frac{1}{F}\integral_{-a}^{a}{ z (\frac{2}{a}(2a^2-z^2)-2a) dz}$ [/mm] und
[mm] $x_s [/mm] = [mm] \frac{1}{2F}\integral_{-a}^{a}{(\frac{2}{a}(2a^2-z^2)-2a)^2 dz}$
[/mm]
und bekomme [mm] $x_s [/mm] = 0$ und [mm] $z_s [/mm] = [mm] \frac{4}{5}a$.
[/mm]
Nun endlich zu meiner Frage :)
Setzt ich nun, wie hier im Beispielgraph fuer $a=2$ ein, erhalte ich bei [mm] $z_s [/mm] = [mm] \frac{8}{5}$, [/mm] was ja ungfaehr 2 ist. Wenn ich mir das jetzt an dem Graphen anschaue, ist der Punkt ja garnicht in der Flaeche. Wenn ich aber die "hoehe" der Flaeche von $x=2a$ hinzuaddiere, dann liegt der Punkt richtig,also ungefaehr bei 6 in dem Bild oben. Ist es denn generell so, dass ich den Schwerpunkt jetzt ausgerechnet haben, als wuerde der Graph auf der Achse liegen und nicht nach oben verschoben sein?
zu ii)
Also wenn ich das Teil um die $z$-Achse rotiere, bekomm ich ja einen "Donut", also so einen Kringel mit Loch in der Mitte. Jetzt weis ich ja garnicht, mit welcher Funktion ich die Rotation durchfuehren soll. Muss ich fuer die Rotation jetzt auch wieder $f(z) = [mm] \frac{2}{a}(2a^2-z^2) [/mm] - 2a$ verwenden? Irgendwie muss ich die ja beiden Volumen voneinander abziehen.
Und Schwerpunkt von einem Volumen? Dafuer haben wir nichtmal ne Formel. Geraten wuerde ich sagen, dass der bei (0,0) liegt.
Ich hoffe ich konnte meine Probleme irgendwie verstaendlich rueberbringen.
Gruss
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
> Setzt ich nun, wie hier im Beispielgraph fuer [mm]a=2[/mm] ein,
> erhalte ich bei [mm]z_s = \frac{8}{5}[/mm], was ja ungfaehr 2 ist.
> Wenn ich mir das jetzt an dem Graphen anschaue, ist der
> Punkt ja garnicht in der Flaeche. Wenn ich aber die "hoehe"
> der Flaeche von [mm]x=2a[/mm] hinzuaddiere, dann liegt der Punkt
> richtig,also ungefaehr bei 6 in dem Bild oben. Ist es denn
> generell so, dass ich den Schwerpunkt jetzt ausgerechnet
> haben, als wuerde der Graph auf der Achse liegen und nicht
> nach oben verschoben sein?
Ich sehe das Problem darin, dass du ja gewissermaßen nicht die Fläche berechnest, welche du im Bild angegeben hast! Du schließt ja in deinem Integral die rechteckige Fläche unter der Parabel, also [-a,a]x[0,2a] nicht aus.
Ich wäre mir nicht so sicher, dass durch Verschiebung um 2a nach oben der neue Schwerpunkt entsteht. Rechne lieber mit der Funktion
g(z) = f(z) - 2a,
also projiziere sie auf die x-Achse runter, dann hast du die Probleme nicht. Dann darfst du auch ohne Probleme den Schwerpunkt um 2a nach oben verschieben.
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 So 07.06.2009 | | Autor: | royalbuds |
Hallo,
ich habe gerade meine Aufgabenstellung verbessert. Die $2a$ hab ich abgezogen, habs nur vergessen hinzuschreiben.
Glaube du hast mir den Teil i) trotzdem schon beantwortet. Durch das $-2a$ habe ich wohl die Kurve tatsaechlich auf die $x$-Achse "runterprojeziert"
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Hallo,
dann dürfte es stimmen 
Die Ergebnisse hab ich auch kontrolliert, sind richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße, Stefan.
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Hallo!
Richtig, du musst auf jeden Fall Volumen voneinander abziehen. Und hier sollte man nicht mit $f(z) - 2a$ arbeiten! Dadurch entsteht bei Rotation ja ein ganz anderer Körper. Meine Idee (nicht die beste, aber sie dürfte funktionieren):
- Bestimme die Nullstellen von f(z) und lasse erstmal die gesamte Parabel um die z-Achse rotieren, also mit dem bei dir nicht grau eingezeichneten Teil.
- Nun ziehe zunächst das den Zylinder ab, bei der Rotation des Rechtecks [-a,a]x[0,2a] entstanden ist.
- Nun berechne das Volumen, dass bei Rotation von f(z) im Intervall von [Nullstelle1,a] entsteht, rechne es mal 2 (andere Seite) und ziehe es auch vom Gesamtvolumen ab.
Bei dem Schwerpunkt würde ich dir zustimmen, das sage ich aber nicht aus fachlicher Kompetenz heraus.
Viele Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Di 09.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo royalbuds!
Wenn Du von Deiner rotierenden Fläche sowohl den Flächeninhalt al sauch die Lages des Schwerpunktes kennst, bietet sich die ![[]](/images/popup.gif) Guldin'sche Regel an mit:
$$V \ = \ [mm] 2*\pi*r*A$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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