Schwerpunkt des Dreieckes < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 So 30.04.2006 | | Autor: | JR87 |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Dreieck mit den Punkten
A(1;2;1)
B(3;2;4)
C(4;6;1)
Berechnen sie den Schwerpunkt des gegebenen Dreicecks. |
So ich denke das sollte eigentlich für mich in der 12. Klasse Wiederholung sein, aber ich habe es irgendwie schon wieder vergessen ;). Wenn ich mich recht erinnere ist der Schwerpunkt eines Dreiecks der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Aber wie ich das nun berechne weiß ich nicht mehr
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Sind [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{s}[/mm] die Ortsvektoren der Punkte [mm]A,B,C[/mm] und des Schwerpunktes [mm]S[/mm], so gilt:
[mm]\vec{s} = \frac{1}{3} \left( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \right)[/mm]
Der Schwerpunkt ist übrigens nicht der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, sondern der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, was auch ganz einfach nachzuweisen ist. So hat etwa die Seitenhalbierende von [mm]AB[/mm] die Parameterdarstellung
[mm]\vec{x} = \frac{1}{2} \left( \vec{a} + \vec{b} \right) + \lambda \left( \vec{c} - \frac{1}{2} \left( \vec{a} + \vec{b} \right) \right) \, , \ \ \lambda \in \mathbb{R}[/mm]
Und wenn man hier [mm]\lambda = \frac{1}{3}[/mm] setzt, erhält man
[mm]\vec{x} = \frac{1}{2} \left( \vec{a} + \vec{b} \right) + \frac{1}{3} \left( \vec{c} - \frac{1}{2} \left( \vec{a} + \vec{b} \right) \right) = \frac{1}{3} \left( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \right) = \vec{s}[/mm]
[mm]S[/mm] liegt also tatsächlich auf der Seitenhalbierenden von [mm]AB[/mm]. Und ganz analog zeigt man, daß [mm]S[/mm] auch auf den beiden anderen Seitenhalbierenden liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 30.04.2006 | | Autor: | JR87 |
Ok das sind dann die Seitenhalbierenden, aber errechne ich denn nun den Schwerpunkt?
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Die Formel steht in meinem ersten Beitrag ...
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