Schwerpunkt von Strecke < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es seien $A$ und $B$ zwei Punkte. Wir bezeichnen mit $|AB|$ die Länge der Strecke $\overline{AB}$ mit den Endpunkten $A$ und $B$. Es sei $C$ ein Punkt der Strecke $\overline{AB}$.
Man beweise, dass $C$ der Schwerpunkt der gewichteten Punkte $(A, |CB|)$ und $(B, |CA|)$ ist.
Man formuliere ein analoges Resultat, wenn $C$ auf der Geraden AB liegt, aber kein Punkt der Strecke $\overline{AB}$ ist. |
Hallo mal wieder,
ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe, da ich irgendwie mit Geometrie nicht sonderlich gut klar komme, zumindest nicht in der Form, wie sie in meiner Vorlesung (Lineare Algebra I) betrieben wird. Irgendwie fehlt mir da der Zugang.
Bis jetzt habe ich Folgendes:
Nach der Formel für den Schwerpunkt aus meiner Vorlesung folgt für den Schwerpunkt der beiden Punkte:
$\overrightarrow{\mathcal{O}S}=\frac{1}{|CB|+|CA|}\left(|CB|\cdot \overrightarrow{\mathcal{O}A}+|CA|\cdot \overrightarrow{\mathcal{O}B}\right)$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathcal{O}S}=\frac{|CB|\cdot \overrightarrow{\mathcal{O}A}+|CA|\cdot \overrightarrow{\mathcal{O}B}}{|CB|+|CA|}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathcal{O}S}=\frac{|CB|\cdot \overrightarrow{\mathcal{O}A}+|CA|\cdot \overrightarrow{\mathcal{O}B}}{|AB|}$ (denn C liegt ja auf $\overline{AB}$, ich hoffe mal, ich kann wenigstens das so schon folgern)
$\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathcal{O}S}=\frac{|CB|}{|AB|}\cdot \overrightarrow{\mathcal{O}A}+\frac{|CA|}{|AB|}\cdot \overrightarrow{\mathcal{O}B}}$
Wie kann ich hier jetzt weiter vorgehen? Habt ihr da Tipps für mich?
Ich wollte irgendwie folgenden Satz aus der Vorlesung benutzen, weiß aber nicht, wie ich daraus dann wirklich $S=C$ folgern kann:
Es seien $S, T \in\mathbb{E}$ zwei verschiedene Punkte. Es seien $\widetilde{S}$ bzw. $\widetilde{T}$ beliebig gewählte baryzentrische Koordinaten von $S$ bzw. $T$ und $a, b \in\mathbb{R}$ beliebig gewählte reelle Zahlen, so dass das Gewicht von
$a \widetilde{S} + b \widetilde{T} \in\mathbb{R}^3 \qquad (1)$
nicht $0$ ist. Dann sind (1) die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes auf der Geraden $ST$. Umgekehrt sind beliebige baryzentrische Koordinaten $\widetilde{P}$ eines Punktes $P$ der Geraden $ST$ von der Form (1):
$\widetilde{P} = a \widetilde{S} + b \widetilde{T}$.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Lustique |
Hat keiner eine Idee? :/ Kann ich einfach $C:=S$ setzen und dann noch zeigen, dass [mm] $S=C\in\overline{AB}$? [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 09.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
