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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Di 18.10.2005 | | Autor: | djselcuk |
Berechnen Sie die Schwerpunktskoordinaten der durch die x-Achse, den Funktionsgraphen und die Geraden mit den Gleichungen x=x1 und x=x2 begrenzten Fläche.
f: f(x) = [mm] \wurzel{r²-x²}
[/mm]
Ich weiß, dass Xs = 0 ist, da es eine Achsensymmetrie ist und dadurch der Schwerpunkt bei 0 liegt!
Wir müssen jetzt den Nenner und Ys berechnen:
Nenner: [mm] \integral_{-r}^{r} {\wurzel{a²-x²} dx} [/mm] = x/2 [mm] \wurzel{a²-x²} [/mm] + a²/2 arcsin x/a
Weiter bin ich leider nicht gekommen!
Ys = 1/2 [mm] \integral_{-r}^{r} {\wurzel{r²-x²} dx}
[/mm]
Wie muss ich jetzt weiter? Könnte mir jemand die Aufgabe vorrechnen, damit ich das auch ganz verstehe...?! Danke im vorraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Di 18.10.2005 | | Autor: | djselcuk |
Hmmm... anscheinend kann mir keiner weiter helfen...
Ich habe es weiter probiert nur bei mir kommen immer falsche Werte heraus! Die Lösung lautet wie folgt: S (0 | 4r / 3 [mm] \pi)
[/mm]
Kann mir jemand hierbei weiter helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Di 18.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo djselcuk!
Na, dann gehen wir für [mm] $y_S$ [/mm] mal schrittweise vor ...
Die Formel lautet ja: [mm] $y_S [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{2}*\integral_{x_1}^{x_2}{y^2 \ dx}}{\integral_{x_1}^{x_2}{y \ dx}}$
[/mm]
Berechnen wir die beiden Integral mal getrennt:
[mm] $\text{Zähler} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{x_1}^{x_2}{y^2 \ dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{-r}^{+r}{\left(\wurzel{r^2-x^2} \ \right)^2 \ dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{-r}^{+r}{r^2-x^2 \ dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[r^2*x - \bruch{1}{3}*x^3\right]_{-r}^{+r}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[\left(r^2*r - \bruch{1}{3}*r^3\right) - \left(r^2*(-r) - \bruch{1}{3}*(-r)^3\right)\right]$
[/mm]
...
$= \ [mm] \bruch{2}{3}*r^3$
[/mm]
Nun der Nenner:
[mm] $\text{Nenner} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{y \ dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \integral_{-r}^{+r}{\wurzel{r^2-x^2} \ dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \left[\bruch{x}{2}*\wurzel{r^2-x^2} + \bruch{r^2}{2}*\arcsin\left(\bruch{x}{r}\right)\right]_{-r}^{+r}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{r}{2}*\wurzel{r^2-r^2} [/mm] + [mm] \bruch{r^2}{2}*\arcsin\left(\bruch{r}{r}\right) [/mm] - [mm] \left[\bruch{-r}{2}*\wurzel{r^2-(-r)^2} + \bruch{r^2}{2}*\arcsin\left(\bruch{-r}{r}\right)\right]$
[/mm]
$= \ 0 + [mm] \bruch{r^2}{2}*\arcsin\left(1\right) [/mm] - [mm] \left[0 + \bruch{r^2}{2}*\arcsin\left(-1\right)\right]$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{r^2}{2}*\arcsin\left(1\right) [/mm] - [mm] \bruch{r^2}{2}*\arcsin\left(-1\right)$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{r^2}{2}*\bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] \bruch{r^2}{2}*\left(-\bruch{\pi}{2}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{r^2}{2}*\bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] \bruch{r^2}{2}*\bruch{\pi}{2}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\pi*r^2}{2}$
[/mm]
Wenn Du das nun zusammenfügst und kürzt, erhältst Du Dein gewünschtes Ergebnis für [mm] $y_S [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4r}{3\pi}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 18.10.2005 | | Autor: | djselcuk |
Ja stimmt... habe den Fehler bei der Berechnung vom Nenner entdeckt! Habe es irgendwie anders aufgelöst... 
Vielen Dank!!!
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