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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Di 26.01.2016 | | Autor: | Tabs2000 |
| Aufgabe | | Berechne [mm] \integral_{1}^{\infty}\bruch{1}{(1+x^{2}) * arctanx} [/mm] dx |
Ich weiß, dass es sich um ein unbestimmtes Integral handelt, ich also nach der Integration den Limes für b -> unendlich betrachten muss. Leider scheitere ich schon an der Integration des Ausdrucks. Ich sehe, dass ich 1/arctanx zu tanx umformen kann. Dann habe ich f und die Ableitung der Umkehrfunktion [mm] (f^{-1})' [/mm] im Ausdruck stehen. Das sieht ja eigentlich schon mal sehr stark nach Substitution aus. Leider weiß ich nicht genau, was ich da substituieren soll. Auch der Integralrechner, den ich schon bemüht habe, findet mir kein Ergebnis. Irgendwie muss das doch gehen oder? Bisher habe ich schon versucht den tanx (1/arctan) = tanx durch sinx/cosx zu schreiben. Dann hab ich mal u=cosx gesetzt und nach Einsetzen in das Integral fiel tatsächlich der Sinus weg. Aber das [mm] 1/(1+x)^{2} [/mm] krieg ich nicht weg.(Ableitung des Arctans)
Vielleicht kann mir jemand sagen, wie man das geschickt vereinfacht.
Vielen Dank :)
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Und ich sehe
[mm]\int_1^{\infty} \frac{f'(x)}{f(x)} ~ \mathrm{d}x[/mm]
Siehst du es auch? Denn dann liegt die Substitution auf der Hand.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Di 26.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
vielleicht sollte man erwaehnen, dass 1/arctan(x) NICHT tan(x) ist.....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Di 26.01.2016 | | Autor: | Tabs2000 |
Wenn 1/arctanx nicht tanx ist... Wie kommt man dann auf den Term ,um f(x) zu substituieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Di 26.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Wenn 1/arctanx nicht tanx ist... Wie kommt man dann auf den
> Term ,um f(x) zu substituieren?
Eigentlich hat Leopold schon alles geschrieben, aber ich frage nochmal deutlich(er) nach ;)
Was ist denn die Ableitung von arctan(x) :)
Gruss,
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Di 26.01.2016 | | Autor: | Tabs2000 |
Ja [mm] 1/(1+x^{2}) [/mm] ist die Ableitung, aber mein arctan steht ja mit im Nenner...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Di 26.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ja [mm]1/(1+x^{2})[/mm] ist die Ableitung, aber mein arctan steht ja
> mit im Nenner...?
Substituiere t=arctan (x)
Fred
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Di 26.01.2016 | | Autor: | Tabs2000 |
Perfekt, jetzt hab ich's raus :) Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Di 26.01.2016 | | Autor: | DieAcht |
Wird noch editiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Di 26.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo Tabs2000!
>
>
> Im Allgemeinen gilt
>
> [mm]\frac{1}{a*b}=\frac{1}{\frac{a}{b}}[/mm].
Uh uh, nee nee.... da ist dir wohl ein Fluechtigkeitsfehler unterlaufen :)
[mm] $a\cdot [/mm] b [mm] \not= \frac{a}{b}$
[/mm]
>
> Also erhalten wir
>
> [mm]\frac{1}{(1+x^{2})*\arctan(x)}=\frac{1}{\frac{1+x^2}{\arctan(x)}}[/mm].
>
> Nun solltest du die Idee der vorgeschlagenen Substitution
> erkennen.
>
>
> Gruß
> DieAcht
Gruss,
Chris
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> vielleicht sollte man erwaehnen, dass 1/arctan(x) NICHT tan(x) ist.....
Huhuhuuu,
was soll denn dieser angebliche Hinweis ?
Ich denke, dass du damit nur Verwirrung stiftest.
LG, Al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Di 26.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
Hallo Al-Chwarizmi,
ich glaube nicht :)
Der Fragesteller ging naemlich tatsaechlich von dieser Identitaet aus (zumindest sehe ich das in seinem Text so) und da sollte man ihn vlt. drauf hinweisen, dass das eben nicht gilt :)
Gruss,
Chris
P.S.: Das ist wohl die "alte" Verwirrung, dass man Umkehrfunktionen als [mm] $f^{-1}$ [/mm] bezeichnet genauso wie man dies fuer Kehrwerte tut....
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