Schwierigkeit mit Laplace < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Anfangsbedingungen lauten y(0)=0,1m und [mm] \dot{y}(0)=-0,1\bruch{m}{s}.
[/mm]
Zum Zeitpunkt t=0 werde das System durch die dargestellte Kraft angeregt. Die Zahlenwerte der Systemparameter lauten:
[mm] m=10^{4}kg, c=10^{4}\bruch{N}{m}, d=2*10^{4}\bruch{Ns}{m}.
[/mm]
Berechnen Sie den Verlauf von y(t) unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle. |
Hallo,
ich habe mich bis zum Laplace-Teil anhand meiner Mitschrift vorgehangelt, habe dort aber Probleme den Gleichungsteil mit U(s) zu transformieren. Ich fange mal vorne an:
Diese Bilder gehören zur Aufgabenstellung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
1) Aufstellen der Gleichung des Kräftegleichgewichts
[mm] F_{E}=F_{D}+F_{C}+F_{T}
[/mm]
[mm] F_{T}=m*a=m*\ddot{y}
[/mm]
[mm] F_{D}=d\dot{y}
[/mm]
[mm] F_{C}=cy
[/mm]
[mm] u(t)=d\dot{y}+cy+m*\ddot{y}
[/mm]
2) in DGL-Form bringen:
[mm] \ddot{y}+\bruch{d}{m}\dot{y}+\bruch{c}{m}y=\bruch{1}{m}u(t)
[/mm]
[mm] s^{2}*Y(s)-s*y(0)-\dot{y}(0)+\bruch{d}{m}*s*Y(s)-\bruch{d}{m}*y(0)+\bruch{c}{m}*Y(s)=\bruch{1}{m}*U(s)
[/mm]
3) Auflösen nach Y(s):
[mm] Y(s)=\bruch{\bruch{1}{m}*U(s)+s*y(0)+\dot{y}(0)+\bruch{d}{m}*y(0)}{s^{2}+\bruch{d}{m}*s+\bruch{c}{m}}
[/mm]
An dieser Stelle hänge ich nun. Was mache ich mit diesem U(s) in meiner Gleichung? Unser Dozent hat an dieser Stelle folgendes Umformschritt vorgenommen:
Y(s)= [mm] \bruch{1}{m}*\bruch{1}{s^{2}+\bruch{d}{m}*s+\bruch{c}{m}}*U(s) [/mm] + [mm] \bruch{s*y(0)+\dot{y}(0)+\bruch{d}{m}*y(0)}{s^{2}+\bruch{d}{m}*s+\bruch{c}{m}}
[/mm]
Nun hat er die gegebenen Werte eingesetzt. Fallen hierbei die Einheiten unter den Tisch?
Er hat eingesetzt für:
y(0)=0,1
[mm] \dot{y}(0)=-0,1
[/mm]
[mm] m=10^{4}
[/mm]
[mm] c=10^{4}
[/mm]
[mm] d=2*10^{4}
[/mm]
Allerdings kann ich ab dieser Stelle nicht mehr den Zusammenhang erkennen. Daher setze ich meine Frage bei dem U(s) an, da ich bis zu diesem Punkt noch nachvollziehen konnte. Die Korrespondenztabelle liegt mir vor, aber ich weiß trotzdem nicht, wie ich dieses U(s) behandeln soll. Scheinbar kann ich es nicht einfach laut Tabelle umformen, da es dort nicht auftaucht, oder stehe ich auf dem Schlauch?
LG Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Andreas,
bei so einer rechteckförmigen Anregung hilft eigentlich immer der Standardtrick, diesen Puls in zwei Sprungfunktionen zu zerlegen.
Bei t=0 springt die Sprungfunktion auf den Wert von [mm] 10^3 [/mm] N. Ab t = 1 überlagert man diese Funktion mit einer weiteren Sprungfunktion, die nun allerdings ein negatives Vorzeichen bekommt, damit als Gesamtergebnis wieder eine Null rauskommt.
Die zeitliche Verschiebung führt zu einer e-Funktion im Laplacebereich (Verschiebungssatz) und so bekommt man als Gesamtausdruck etwas wieder Handhabbares:
[mm] U(s) = \bruch{10^3}{s} \left[ 1 - e^{-s}\right] [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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