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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Do 06.03.2014 | | Autor: | Rafi |
| Aufgabe | Ein in der Mitte um den Winkel [mm]\varphi = 60°[/mm] geknicktes Drahtstück von [mm]l_{0} = 60 cm[/mm] Länge wird im Knick schwingend aufgehängt.
Wie groß ist die Schwingungsdauer? |
Hallo alle zusammen,
ich habe die obige Aufgabe versucht zu lösen, bin mir aber nicht sicher, ob meine Lösung korrekt ist.
Ich habe dann im Internet nach der selben Aufgabenstellung gesucht und folgenden Beitrag gefunden:
![[]](/images/popup.gif) netphysik.de Forumbeitrag
Dort werden jedoch drei verschiedene Lösungsergebnisse angegeben zu denen meine Lösung nicht passt.
Mein Lösungsansatz sieht wie folgt aus:
Ich betrachte das Drahtstück als zwei zusammengesetzte Stäbe, wobei sich beide die gleiche Drehachse teilen.
Daraus folgt, dass sich das Gesamtträgheitsmoment als Summe der einzelnen Trägheitsmomente der Stäbe ergibt.
[mm]J_{ges}=J_{stab1} + J_{stab2}[/mm] bzw. mit [mm]J_{stab}=J_{stab1}=J_{stab2} \Rightarrow J_{ges}=2\cdot J_{stab}[/mm]
Die Stablänge beträgt die Hälfte der gesamten Drahtlänge:
[mm]l_{stab}=\bruch{l_{0}}{2}[/mm]
Die Formel für das Trägheitsmoment durch die Schwerpunktsachse eines Stabes lautet:
[mm]J_{S}=\bruch{m}{12}l^{2}[/mm]
Mit dem Satz-von-Steiner folgt für die versetzte Drehachse:
[mm]J_{stab}=\bruch{1}{12}\cdot m\cdot(\bruch{l_{0}}{2})^{2} + m\cdot(\bruch{l_{0}}{4})^{2}[/mm]
[mm]J_{stab}=\bruch{1}{12}\cdot m\cdot l_{0}^{2}[/mm]
Das Gesamtträgheitsmoment beträgt dann:
[mm]J_{ges}=2\cdot J_{stab}=\bruch{1}{6}\cdot m\cdot l_{0}^{2}[/mm]
Bevor die Schwingungsdauer mit der Formel des physischen Pendels berechnet werden kann,
muss noch der Abstand zwischen Aufhängepunkt und Schwerpunkt des gesamten Drahtstückes ermittelt werden.
Hier bin ich mir nicht ganz sicher, nehme aber an das er mittig zwischen den Schwerpunkten der einzelnen Stäbe liegt.
(Wenn mir jemand erklären kann, wie man am besten sowas nachweisen kann, wäre ich sehr dankbar)
Zudem bin ich mir auch nicht sicher wo die 60 Grad liegen sollen, deshalb habe ich hier eine Zeichnung mit zwei Varianten,
die mir so im Kopf durchgehen, angefertigt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
1. Variante: Das Drahtstück wurde nur um 60° ausgehend vom gerade Draht geknickt.
2. Variante: Der Winkel zwischen den Drähten beträgt 60°.
Für die erste Variante ergibt sich (Angaben in Grad):
[mm]s=\bruch{l_{0}}{4}\cos(60)[/mm]
Mit der Formel des physischen Pendels (Näherung für kleine Auslenkwinkel):
[mm]T=2\pi\sqrt{\bruch{J_{ges}}{mgs}}[/mm]
ergibt sich nach einsetzen und kürzen:
[mm]T=2\pi\sqrt{\bruch{2\cdot l_{0}}{3\cdot g\cdot \cos(60)}}[/mm]
Als Ergebnis würde dann 1,794s rauskommen.
Bei der zweiten Variante entsprechend:
[mm]T=2\pi\sqrt{\bruch{2\cdot l_{0}}{3\cdot g\cdot \cos(30)}}=1,363s[/mm]
Wenn ich irgendwo falsch liege würde ich mich über eine Aufklärung freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Do 06.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast beim Trägheitsmoment für beide Stabhälften m eingesetzt, der halbe Draht hat aber nur m/2. Sonst ist das richtig, also wenn du J noch korrigierst., falls du nicht zeigen musst, dass du einfach die Formel für das Physikalische Pendel benutzen darfst, also die Bewegungsgleichung nicht herleiten musst.
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Do 06.03.2014 | | Autor: | Rafi |
Vielen Dank leduart,
ich habe mir schon gedacht, dass irgendwo ein Fehler mit dem Faktor 2 drin ist.
Hier ist nochmal die korrigierte Version:
[mm]J_{stab}=\bruch{1}{12}\cdot \bruch{m}{2}\cdot(\bruch{l_{0}}{2})^{2} + \bruch{m}{2}\cdot(\bruch{l_{0}}{4})^{2}[/mm]
[mm]J_{stab}=\bruch{1}{12}\cdot \bruch{m}{2}\cdot l_{0}^{2}=\bruch{1}{24}\cdot m\cdot l_{0}^{2}[/mm]
[mm]J_{ges}=2\cdot J_{stab}=\bruch{1}{12}\cdot m\cdot l_{0}^{2}[/mm]
Für die erste Variante gilt dann:
[mm]T=2\pi\sqrt{\bruch{l_{0}}{3\cdot g\cdot \cos(60)}} = 1,269s[/mm]
Und für die zweite Variante:
[mm]T=2\pi\sqrt{\bruch{l_{0}}{3\cdot g\cdot \cos(30)}} = 0,964s[/mm]
Die zweite Variante stimmt mit dem Ergebnis überein, die ich auf einer Ergebnisliste stehen habe.
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