Schwingungen mit Dämpfung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Balkenwaahe vollführt eine gedämpfte Schwingung mit der Auslenkung A(t); dabei wird die Lage dreier aufeinanderfolgender Umkehrpunkte des Zeigers beobachtet zu a, b und c Skalenteilen.(Abbildung)
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Berechnen Sie daraus die Stellung B, in welcher der Zeiger zur Ruhe kommen müsste und vewenden Sie dabei:
[mm] A(t)=A_{0}e^{-\lambda t}sin(\omega [/mm] t)+B |
Hallo zusammen,
Ich sehe auf der Abbildung ja erstmal eine gedämpfte Schwingung, da die Amplitude stetig abnimmt, nur:
Was genau soll das große „B“ darstellen? Und sollen mir a,b,c einfach die Abnahme der Amplitude nach jeweils einer halben Periode veranschaulichen?
Wie muss ich rangehen um gesuchte Stellung „B“ zu berechnen, bei der der Zeiger zur Ruhe kommt?
Ich habe ja den „Ansatz“ schon geliefert bekommen, aber muss ich zuerst noch irgendwie eine Differentialgleichung aufstellen und diesen Ansatz in diese einsetzen um nach B auflösen zu können, oder kann ich direkt mit A(t) arbeiten und muss das einfach null setzen?
Wäre wirklich dankbar für eine kleine Hilfe, wenn möglich mit kleiner Erklärung zur Rangehensweise. Danke schonmal im Voraus!
Liebe Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Theoretix,
aus den Werten a und c, die ja eine Schwingung auseinander liegen, lässt sich die Dämpfung bestimmen, aber ohne weitere Infos sehe ich da keinen großen Sinn drin. Nach unendlich langer Zeit wird die Waage bei B stehen bleiben, aber das ist ja nicht so umwerfend neu. Der vordere Term beschreibt eine gedämpfte Sinusschwingung, die gegen Null läuft.
Viele Grüße,
Infinit
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Erstmal danke für die Antwort,
noch ein paar Fragen dazu:
Ich bestimme also mithilfe der gezeichneten Werte a, b und c die Dämpfung.
Dann stelle ich eine Differentialgleichung auf und löse diese mit dem gegebenen Ansatz A(t)?
Oder wie muss ich dann weiter vorgehen?
Und wie geht man vor um eine Dämpfung zu bestimmen?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ich weiss nicht, was Du da mit einer DGL willst, wo soll die denn herkommen,wenn Du nur die Kurve gegeben hast?
Zur Bestimmung der Dämpfung kann man recht einfach vorgehen. Du kennst die Maximalwerte a und c der gedämpften Schwingung, diese liegen eine Periodendauer der Schwingung auseinander. Die Sinusfunktion ist zu diesen Zeitpunkten maximal (sonst wäre es kein Maximum) und das heisst der Sinus nimmt an diesen Stellen einen Wert von 1 an. Bezeichnen wir nun die beiden Zeitpunkte mit t1 und t2, so gilt aufgrund der Kurve
[mm] a=\exp^{-\lambda t_1} \cdot \sin (\omega t_1) = \exp^{-\lambda t_1} [/mm] und eine Periodendauer später
[mm] c = \exp^{-\lambda t_2} \cdot \sin (\omega t_2) = \exp^{-\lambda t_2} [/mm]
Jetzt dividiere mal a durch c und nehme den natürlichen Logarithmus davon und denke an die Logarithmengesetze. So ergibt sich Lambda.
Viele Grüße,
Infinit
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Vielen Dank für den Tipp!
Ich habe doch als Hinweis:
[mm] A_{0}e^{-\lambda t}sin(\omega [/mm] t)+B gegeben.
Wenn ich jetzt a und c betrachte, wird der sinus wie ja ja schon sagtest 1, also müsste doch da noch stehen:
[mm] a=A_{0}e^{-\lambda t_{1}}+B [/mm] und
[mm] c=A_{0}e^{-\lambda t_{2}}+B [/mm] also mich wundert wohin [mm] A_{0} [/mm] und B „verschwunden“ sind, warum fällt das weg?
Wenn ich [mm] \lambda [/mm] bestimmt habe, muss ich dann meine gegebene Gleichung für die Auslenkung A(t) nur noch nach B auflösen?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
B ist eine Konstante und beeinflusst in keiner Weise den Dämpfungsverlauf. Die Amplitude [mm] A_0 [/mm] habe ich vergessen, wie ich zugeben muss, aber sie ändert nichts an der Art der Berechnung der Dämpfung.
Viele Grüße,
Infinit
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> B ist eine Konstante und beeinflusst in keiner Weise den
> Dämpfungsverlauf.
>
War nicht B gerade der gesuchte Wert? Die Exponentialfunktion geht ja unabhängig von Lambda bei t gegen Unendlich gegen 0, B hängt also nicht von Lambda ab.
Abgesehen davon muss man bei der Berechnung der Dämpfung ja die Amplitude zu den Zeitpunkten nehmen, also (B-a) und (B-c), da man sonst eine zu geringe Dämpfung (die gedämpfte Sinusfunktion ist ja um B nach oben verschoben) bzw zu hohe Dämpfung (wenn B<0) erhielte.
Kurzum: Wie soll man dann zum gesuchten B kommen?
Mein Ansatz wäre ja gewesen, die drei Schwingungen zum Zeitpunkt T/3, 3T/4 und 5T/4 zu betrachten (Extreme, bei denen der Sinus +/-1 ist), dann den gegebenen Ansatz zu benutzen, womit man letztendlich erhält:
[mm]a - A_0 * e^{-k} = b + A_0 * e^{-3k} = c - A_0 * e^{-5k} = B[/mm], wobei k in dem Fall [mm] \lambda* [/mm] t/4 wäre. Aber wie man dann aus den Werten das gesuchte B erhält, weiß ich auch nicht. Kann da vielleicht jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Di 28.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
aus den gegebenen Werten der Zeichnung und dem Ansatz ist ersichtlich, dass der Endwert B sein wird, denn die gedämpfte Sinusschwingung läuft gegen Null.
Könnte es sein, dass es vor diesem Aufgabenteil noch etwas mehr physikalisch Geprägtes gab, aus dem man die dann hier gezeichnete Kurve ableiten konnte? Dann würde es auch Sinn machen, nach der Größe B zu fragen.
Die Sache bleibt spannend.
Viele Grüße,
Infinit
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Ja, dass die Waage in Stellung B liegen bleibt, ist ja klar. Aber die Frage ist ja, wie berechnet man B aus den Werten a, b und c?
Kommt man mit meiner Überlegung überhaupt weiter?
Ich beziehe mich jetzt auf meinen früheren Beitrag https://vorhilfe.de/read?i=752578
Könnte man vielleicht aus zweien der Werten a, b, c das k = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \bruch{T}{4} [/mm] ausrechnen und dann mit dem dritten Wert auf das gesuchte B kommen?
Mein Ansatz wäre dann folgender:
a - [mm] A_0 [/mm] * [mm] e^{-k} [/mm] = b + [mm] A_0 [/mm] * [mm] e^{-3k}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a - b = [mm] A_0 [/mm] * [mm] e^{-k} [/mm] + [mm] A_0 [/mm] * [mm] e^{-3k} [/mm] = [mm] A_0 (e^{-k} [/mm] + [mm] e^{-3k})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ln(a-b) = ln [mm] A_0 [/mm] + ln [mm] (e^{-k}) [/mm] + ln (1+ [mm] \bruch{e^{-3k}}{e^{-k}}) [/mm] = ln [mm] A_0 [/mm] - k + ln (1+ [mm] e^{-2k})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ln(a-b) - ln [mm] A_0 [/mm] = - k + ln(1+ [mm] e^{-2k})
[/mm]
hier komme ich dann aber nicht mehr weiter, das nach k aufzulösen. Wenn man das geschafft hat, müsste man es nur noch in die Gleichung c - [mm] A_0 [/mm] * [mm] e^{-5k} [/mm] = B einsetzen und hätte das Ergebnis.
Gibt's da irgend einen Weg?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Fr 31.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ohne was zu ändern setze ich t=0 bei a
t=T bei c, ich nehme an du kannst T ablesen.
Dann hast du a=A+B [mm] c=A*e^{-kT}+B b=-A*e^{-k/2*T}+B
[/mm]
[mm] a-c=A*(1+e^{-kT})
[/mm]
[mm] a-b=A(1-e^{-k/2*T}
[/mm]
(a-c)/(a-b)=....
quadratische G mit [mm] z=e^{-k/2T} [/mm] daraus k
dann in a-b einsetzen ergibt A
in c einsetzen ergibt B
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Pokojovix |
Super, darauf hätte man ja eigentlich selbst kommen können, den Zeitnullpunkt anders zu setzen. Danke für den Tipp!
Und ein frohes neues Jahr!! 
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