Schwingungs DGL mit Auftrieb < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 So 21.01.2007 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Eine Kerze sei in einem Glaszylinder mit dem Radius r = 2 cm untergebracht (Skizze) und schwimmt in Wasser (Dichte [mm] \rho [/mm] = 1000 kg / m³)
Zusammen haben Kerze und Glaszylinder die Masse 50g.
Reibung, Turbulenz und Oberflächenspannung sollen im Folgenden vernachlässigt werden, ebenso alle Bewegungskomponenten nicht entlang der Vertikalen. Alle Bewegungen sollen so erfolgen, dass der Zylinder immer im Wasser bleibt, aber andererseits auch kein Wasser oben reinschwappt.
a) Geben Sie als Funktion der vertikalen Auslenkung z aus der Gleichgewichtsposition (z=0) die auf den Zylinder resultierende Kraft in z-Richtung an.
b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung(en) für die Bewegung in z-Richtung auf.
c) Zeigen Sie, dass [mm] z (t) = A \cos(\omega * t)[/mm] eine spezielle Lösung dieser Bewegugsgleichung ist und bestimmen Sie [mm] \omega.
[/mm]
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Hallo, und wieder ein Problem:
Für a) habe ich die allg. Lösung (harmonischer Oszillator)
[mm] A \cos(\omega * t) + B \sin(\omega * t) = z(t)[/mm]
[mm] z(t) = z_0[/mm]
Zum Zeitpunkt t = 0, ist
[mm] A = z_0[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für den Auftrieb gilt:
[mm] F_a = \rho_F_l * A_K * h_K * g[/mm]
G soll die Gewichtskraft des Körpers sein.
Wenn [mm] F_a [/mm] > G, so schwimmt der Körper
Wenn ich das richtig abstrahiert habe soll wohl
[mm] F_a(z)[/mm] herauskommen.
Mit der Gewichtskraft des Körpers = Gewichtskraft der Flüssigkeit erhält man die Eintauchstiefe. Ab da hat mich die Muse verlassen.
Ich habe die Gesamthöhe des Zylinders nicht gegeben, ich denke nicht, dass man sich die willkürlich vorgeben kann, weil sonst das Ergebniss falsch wird.
Für c) kommt, laut Lösung, 15,7 1/s heraus.
Kann mir bitte jemand genau erklären wie ich a) und b) und natürlich c) richtig löse?
Diese Aufgabe ist aus einer Übungsklausur.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 So 21.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Murmel
Im Gleichgewicht ist doch [mm] G=F_a.
[/mm]
Wenn das ding jetzt zusaetzlich um z eintaucht ist die ruecktreibende Kraft gleich der zusaetzlichen Auftriebskraft, also = Gewicht des zusaetlich verdr. Wassers. Wenn du das hast hast du auch die DGL, mit m*z''=-k*z, nur k noch wie oben gesagt bestimmen und dann [mm] w^2=k/m [/mm] !
Die Laenge spielt dabei keine Rolle, da es ja nur auf die Differenzeintauchtiefe ankommt. und die Flaeche bzw. r ist ja gegeben.
Gruss leduart
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