Schwingungsdgl 3.Ordnung lösen < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mi 19.08.2009 | | Autor: | jojo2502 |
Hallo,
ich habe folgende DGL:
[mm] $\dddot{x} [/mm] + [mm] \bruch{R_{Hy}}{L_{Hy}}\cdot \ddot{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{L_{Hy}\cdot C_{Hy}}\cdot \dot{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{A\cdot L_{Hy}\cdot C_{hy}}\cdot Q_{p}$
[/mm]
mit der Laplace-Transformierten:
[mm] $s^3 [/mm] + [mm] \bruch{R_{Hy}}{L_{Hy}}\cdot s^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{L_{Hy}\cdot C_{Hy}}\cdot [/mm] s [mm] \cdot [/mm] X(s) = [mm] \bruch{1}{A\cdot L_{Hy}\cdot C_{hy}}\cdot Q_{p} \bruch{1}{s}$
[/mm]
Der Nenner der s-Übertragungsfunktion
[mm] $s^3 [/mm] + [mm] \bruch{R_{Hy}}{L_{Hy}}\cdot s^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{L_{Hy}\cdot C_{Hy}}\cdot [/mm] s = 0$
hat eine Nullstelle bei s = 0
[mm] $(s^2 [/mm] + [mm] \bruch{R_{Hy}}{L_{Hy}}\cdot [/mm] s + [mm] \bruch{1}{L_{Hy}\cdot C_{Hy}})\cdot [/mm] s = 0$
Soweit ist mir das klar und ich kann die restlichen Nullstellen nun mit der p-q-Formel finden. Diese müssen da das System schwingungsfähig ist konjugiert komplex zueinander sein. Und ab hier beginnt mein Problem. Wie löse ich nun die Aufgabe und gelange zur Gleichung x(t)? Mir ist klar, dass die mittels der durchgeführten Partialbruchzerlegung und einem Koeffizienten Vergleich wohl funktioniert, aber wie handhabe ich den Komplexen teil? Darstellen muss ich nur den reellen Anteil.
Hoffe mir kann hier jemand helfen. Falls weitere Angaben benötigt werden einfach melden.
Liebe Grüße Jojo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Mi 19.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jojo!
> ich habe folgende DGL:
>
> [mm]\dddot{x} + \bruch{R_{Hy}}{L_{Hy}}\cdot \ddot{x} + \bruch{1}{L_{Hy}\cdot C_{Hy}}\cdot \dot{x} = \bruch{1}{A\cdot L_{Hy}\cdot C_{hy}}\cdot Q_{p}[/mm]
Erste Frage: Musst du die DGL per Laplacetransformation lösen? Denn durch einmalige Integration hast du bekommst du eine inhomogene DGL 2. Ordnung für ein gedämpftes System.
> mit der Laplace-Transformierten:
>
> [mm]s^3 + \bruch{R_{Hy}}{L_{Hy}}\cdot s^2 + \bruch{1}{L_{Hy}\cdot C_{Hy}}\cdot s \cdot X(s) = \bruch{1}{A\cdot L_{Hy}\cdot C_{hy}}\cdot Q_{p} \bruch{1}{s}[/mm]
>
> Der Nenner der s-Übertragungsfunktion
>
> [mm]s^3 + \bruch{R_{Hy}}{L_{Hy}}\cdot s^2 + \bruch{1}{L_{Hy}\cdot C_{Hy}}\cdot s = 0[/mm]
>
> hat eine Nullstelle bei s = 0
>
> [mm](s^2 + \bruch{R_{Hy}}{L_{Hy}}\cdot s + \bruch{1}{L_{Hy}\cdot C_{Hy}})\cdot s = 0[/mm]
>
> Soweit ist mir das klar und ich kann die restlichen
> Nullstellen nun mit der p-q-Formel finden. Diese müssen da
> das System schwingungsfähig ist konjugiert komplex
> zueinander sein. Und ab hier beginnt mein Problem. Wie
> löse ich nun die Aufgabe und gelange zur Gleichung x(t)?
> Mir ist klar, dass die mittels der durchgeführten
> Partialbruchzerlegung und einem Koeffizienten Vergleich
> wohl funktioniert, aber wie handhabe ich den Komplexen
> teil? Darstellen muss ich nur den reellen Anteil.
Da wirfst du verschiedene Dinge durcheinander. Wenn du die beiden komplexen Nullstellen [mm] $u\pm [/mm] iv$ berechnet und eine Partialbruchzerlegung durchgeführt hast, bleiben drei Summanden übrig. Die beiden Terme mit den komplexen Nullstellen
[mm] \bruch{A_1}{s+u+iv} + \bruch{A_2}{s+u-iv} [/mm]
ergeben bei Rücktransformation zwei Exponentialfunktionen:
[mm] A_1 e^{-s-u-i_v} + A_2 e^{-s-u+iv} = e^{-s-u} (A_2 e^{+iv} +A_1 e^{-iv}) [/mm].
Die [mm] $e^{\pm iv}$ [/mm] rechnest du in Sinus und Cosinus um. Wenn die Koeffizienten deienr DGL reell sind, sollten [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] konjugiert komplex zueinander sein, sodass das Ergebnis automatisch wieder reell ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Mi 19.08.2009 | | Autor: | jojo2502 |
Erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Nein das ganze muss nicht mit einer Laplace-Transformation gelöst werden.
Die Koeffizienten sind alle definitiv reell.
Gruß Jojo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mi 19.08.2009 | | Autor: | jojo2502 |
Hallo,
wenn ich nun meine Partialbruchzerlegung mache bekomme ich folgendes raus:
[mm] $\bruch{\bruch{1}{A \cdot L_{Hy} \cdot C_{Hy}} \cdot Q_{p}}{p^2 (s+u-iv)(s+u+iv)} [/mm] = [mm] \bruch{A_{1}}{p^2} [/mm] + [mm] \bruch{A_{2}}{s+u-iv} [/mm] + [mm] \bruch{A_{3}}{s+u+iv}$
[/mm]
ist das soweit richtig??? Bin mit bei dem [mm] p^2 [/mm] nicht so ganz klar... Und nun mach ich einen Koeffizientenvergleich um meine [mm] $A_{i}$ [/mm] zu finden???
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Hallo jojo2502,
> Hallo,
>
> wenn ich nun meine Partialbruchzerlegung mache bekomme ich
> folgendes raus:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{A \cdot L_{Hy} \cdot C_{Hy}} \cdot Q_{p}}{p^2 (s+u-iv)(s+u+iv)} = \bruch{A_{1}}{p^2} + \bruch{A_{2}}{s+u-iv} + \bruch{A_{3}}{s+u+iv}[/mm]
>
> ist das soweit richtig??? Bin mit bei dem [mm]p^2[/mm] nicht so ganz
> klar... Und nun mach ich einen Koeffizientenvergleich um
> meine [mm]A_{i}[/mm] zu finden???
Das "p" ist doch hier ein "s".
Da s=0 eine doppelte Nullstelle ist, wählst Du folgenden Ansatz:
[mm]\bruch{\bruch{1}{A \cdot L_{Hy} \cdot C_{Hy}} \cdot Q_{p}}{s^2 (s+u-iv)(s+u+iv)} = \blue{\bruch{A_{0}}{s}}+\bruch{A_{1}}{s^2} + \bruch{A_{2}}{s+u-iv} + \bruch{A_{3}}{s+u+iv}[/mm]
Und jetzt kannst Du einen Koeffizientenvergleich machen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Mi 19.08.2009 | | Autor: | jojo2502 |
Danke für die Antwort... ja das p sollte ein s sein.
Werd mich morgen wieder dran setzen und dann berichten...
Gruß Jojo
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