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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Do 20.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo an alle! 
Ich hab hier eine Aufgabe, die ich aber leider nur ansatzweise lösen kann, wobei ich nicht mal weiß, ob mein Ansatz richtig ist. Darum bitte ich um Hilfe. Danke!
Die Aufgabe:
Sei y: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine Lösung der Differentialgleichung [mm] y^{,,} [/mm] + y = 0.
(a) Zeige, dass die Funktion E = [mm] y^{2} [/mm] + [mm] y^{,2} [/mm] konstant ist.
Folgere daraus, ohne den Satz der Vorlesung über die Lösungen der Differentialgleichung [mm] y^{,,} [/mm] + y = 0 zu benutzen:
(b) ist y(0) = 0 und [mm] y^{,} [/mm] = 0, dann y [mm] \equiv [/mm] 0.
(c) Allgemein gilt y(x) = y(0) cos x + [mm] y^{,} [/mm] (0) sin x für alle x [mm] \in \IR [/mm] .
Erst mal gebe ich mal den Satz über die Lösungen der Differentialgleichung [mm] y^{,,} [/mm] + [mm] y^{,} [/mm] = 0 an, den ich aus Vorlesung kenne:
Die Schwingungsgleichung [mm] y^{,,} [/mm] + [mm] y^{,} [/mm] = 0 auf einem Intervall I hat den 2-dimensionalen [mm] \IR [/mm] Vektorraum mit der Basis {sin, cos} als Lösungsraum.
Anders gesagt: Jede reelle Lösung der Schwingungsgleichung auf I lässt sich eindeutig als y(x) = [mm] \alpha [/mm] cos x + [mm] \beta [/mm] sin x ( [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] , schreiben.
Jetzt mein Ansatz:
zu a)
Wenn E = [mm] y^{2} [/mm] + [mm] y^{,2} [/mm] konstant sein soll, dann gilt doch, dass die Ableitung von E Null sein muss, oder?
So bin ich also vorgegangen: Sei y = [mm] \alpha [/mm] cos x + [mm] \beta [/mm] sin x.
Dann ist [mm] y^{,} [/mm] = - [mm] \alpha [/mm] sin x + [mm] \beta [/mm] cos x
Das setze ich dann in E ein. Also:
E = [mm] (\alpha [/mm] cos x + [mm] \beta [/mm] sin [mm] x)^{2} [/mm] + (- [mm] \alpha [/mm] sin x + [mm] \beta [/mm] cos [mm] x)^{2}
[/mm]
= [mm] \alpha^{2} [/mm] + [mm] \beta^{2} [/mm] (nach ewigen Umformen)
Ich weiß ja, dass [mm] \alpha^{2} [/mm] + [mm] \beta^{2} [/mm] eine Konstante ist. Die Ableitung von E, also die Ableitung von einer Konstante, ist 0.
Daraus folgt doch, dass E konstant ist. (Beweis Ende)
Stimmt mein Beweis?
Zu b)
Ich weiß ja, dass [mm] y^{,,} [/mm] + y ist. Also y = - [mm] y^{,,} [/mm] .
Zu zeigen ist nun, dass [mm] y^{,} [/mm] (0) = - [mm] y^{,,} [/mm] ist.
E = [mm] y^{2} [/mm] + [mm] y^{,2} [/mm] = 0 + 0 = 0
[mm] y^{2} [/mm] + [mm] y^{,2} [/mm] - E = 0
[mm] y^{,,} [/mm] + [mm] y^{,2} [/mm] - E = 0 (wegen y = - [mm] y^{,,})
[/mm]
[mm] y^{,,} [/mm] = E - [mm] y^{,2} [/mm]
[mm] y^{,,} [/mm] = E (wegen [mm] y^{,2} [/mm] = 0)
[mm] y^{,,} [/mm] = 0 (wegen E = 0)
Also folgt, dass y = - [mm] y^{,,} [/mm] = [mm] y^{,}
[/mm]
ich weiß, dass mein Beweis hier voll komisch ist, weil ich mich dabei im Kreis drehe. Aber ich weiß nicht, wie ich sonst aus a) die Aufgabe b) folgern kann. Ich seh da nicht richtig den Zusammenhang dabei.
Ich hoffe, ihr könnt mir dabei helfen.
Bei der Aufgabe c) geht es mir genauso. Ich verstehe zwar die Gleichung,aber ich weiß nicht, wie ich von dem Ergebnis aus a) auf c) kommen soll.
Könnt ihr mir bitte helfen, oder Tipps geben, wie ich da vorgehen kann. Danke!
Gute Nacht!
Ciao!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Do 20.01.2005 | | Autor: | leduart |
> Hallo an alle!
> Sei y: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine Lösung der Differentialgleichung
> [mm]y^{,,}[/mm] + y = 0.
>
> (a) Zeige, dass die Funktion E = [mm]y^{2}[/mm] + [mm]y^{,2}[/mm] konstant
> ist.
>
> Folgere daraus, ohne den Satz der Vorlesung über die
> Lösungen der Differentialgleichung [mm]y^{,,}[/mm] + y = 0 zu
> benutzen:
> (b) ist y(0) = 0 und [mm]y^{,}[/mm] = 0, dann y [mm]\equiv[/mm] 0.
> (c) Allgemein gilt y(x) = y(0) cos x + [mm]y^{,}[/mm] (0) sin x für
> alle x [mm]\in \IR[/mm] .
>
> Erst mal gebe ich mal den Satz über die Lösungen der
> Differentialgleichung [mm]y^{,,}[/mm] + [mm]y^{,}[/mm] = 0 an, den ich aus
> Vorlesung kenne:
>
> Die Schwingungsgleichung [mm]y^{,,}[/mm] + [mm]y^{,}[/mm] = 0 auf einem
> Intervall I hat den 2-dimensionalen [mm]\IR[/mm] Vektorraum mit der
> Basis {sin, cos} als Lösungsraum.
> Anders gesagt: Jede reelle Lösung der Schwingungsgleichung
> auf I lässt sich eindeutig als y(x) = [mm]\alpha[/mm] cos x + [mm]\beta[/mm]
> sin x ( [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm] , schreiben.
>
> Jetzt mein Ansatz:
>
> zu a)
> Wenn E = [mm]y^{2}[/mm] + [mm]y^{,2}[/mm] konstant sein soll, dann gilt doch,
> dass die Ableitung von E Null sein muss, oder?
Ja aber du sollst ja die lösun grade nicht benutzen
also aus y'' +y = 0 folgt durch Multiplikation mit 2y' 2y''y' + yy' =0
Sicher erkennst du jetzt dass 2y'y'' die Ableitung von y#^{2} ist 2yy# die Ableitung von [mm] y^{2}. [/mm] d.h. du integrierst die Gleichung und erhälst
y#^{2} [mm] +y^{2} [/mm] = konst.
Schön einfach. deshalb sagt man auch in der Physik: Der Energiesatz ist das erste Integral der Bewegungsgleichung.
Außerdem sind die einzigen bekannten Funktionen bei denen funtionsquadrat +Ableitungsquadrat 1 sind sin und cos!
da die Summe ja für alle Zeiten konstant ist ist sie immer Null ,wenn sie am Anfang 0 ist da beide Summanden positiv sind müssen sie also auch 0 sein Hurra!
> Gute Nacht!
Gute Nacht auch dir
leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Do 20.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, leduart!
Nochmals danke für deine Hilfe!
Ich habe deine Anweisungen befolgt, und konnte, hoffe ich, die Aufgabe (a) auch lösen.
Hier ist meine Lösung. Kannst du mir sagen, ob es so richtig ist, wie ich es geschrieben habe?
(a) y´´ + y = 0
Multipliziere die Gleichung mit 2y´. Dann:
2y´y´´ + 2yy´ = 0
Es gilt: 2y´y´´ ist die Ableitung von [mm] y^{,2}.
[/mm]
2yy´ ist die Ableitung von [mm] y^{2}.
[/mm]
Nun integriere ich die Gleichung:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {(2y´y´´ + 2yy´) dy} = [mm] \integral_{}^{} [/mm] {0 dy}
Dann: [mm] y^{2} [/mm] + [mm] y^{,2} [/mm] = E (also konstant)
Stimmt das so?
Nun zu den Teilaufgaben (b) und (c).
Ich habe diese Erklärung von dir nicht richtig verstanden, was du damit meinst:
"da die Summe ja für alle Zeiten konstant ist ist sie immer Null ,wenn sie am Anfang 0 ist da beide Summanden positiv sind müssen sie also auch 0 sein Hurra!"
Kannst du mir nochmal erklären bitte, was du meinst?
Ich konnte aus den Erklärungen nicht wirklich rauslesen, wie ich (b) und (c) lösen kann.
Ich bitte dich nochmals um weitere Tipps und Hilfe!
Danke!
ciao! Gute nacht!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 So 23.01.2005 | | Autor: | leduart |
> Hallo, leduart!
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> Nochmals danke für deine Hilfe!
> Ich habe deine Anweisungen befolgt, und konnte, hoffe ich,
> die Aufgabe (a) auch lösen.
> Hier ist meine Lösung. Kannst du mir sagen, ob es so
> richtig ist, wie ich es geschrieben habe?
>
> (a) y´´ + y = 0
> Multipliziere die Gleichung mit 2y´. Dann:
> 2y´y´´ + 2yy´ = 0
> Es gilt: 2y´y´´ ist die Ableitung von [mm]y^{,2}.
[/mm]
> 2yy´ ist die Ableitung von [mm]y^{2}.
[/mm]
> Nun integriere ich die Gleichung:
> [mm]\integral_{}^{}[/mm] {(2y´y´´ + 2yy´) dy} = [mm]\integral_{}^{}[/mm] {0
> dy}
> Dann: [mm]y^{2}[/mm] + [mm]y^{,2}[/mm] = E (also konstant)
>
> Stimmt das so?
Ja!
>
> Nun zu den Teilaufgaben (b) und (c).
> Ich habe diese Erklärung von dir nicht richtig verstanden,
> was du damit meinst:
> "da die Summe ja für alle Zeiten konstant ist ist sie
> immer Null ,wenn sie am Anfang 0 ist da beide Summanden
> positiv sind müssen sie also auch 0 sein Hurra!"
>
> Kannst du mir nochmal erklären bitte, was du meinst?
b) y(0)=0 y'(0)=0 daras folgt E=0
[mm] y(x)^{2} \ge [/mm] 0 , [mm] y'(x^{2} \ge [/mm] 0 Weil das Quadrat einer reellen Zahl immer größer oder gleich Null ist.
[mm] y(x)^{2} [/mm] + [mm] y'(x)^{2} [/mm] = 0 folgt also [mm] y(x)^{2}=0 [/mm] und [mm] y'(x)^{2}=0 [/mm] weil die Summe zweier Zahlen, die [mm] \ge [/mm] 0 sind nur Null ist wenn beide Null sind. fertig mit b.
c) y=y(0)cosx + y'(0)sinx folgt y' = -y(0)sinx +y'(0)cosx
quadriere die beiden, addiere sie ordne so, dass [mm] y(0)^{2}*() [/mm] + [mm] y'(0)^{2}*() [/mm] dasteht und sehe dass es gleich [mm] y(0)^{2} [/mm] + [mm] y'(0)^{2} [/mm] = E ist.
Eine lineare Differentialgl. hat zu gegebenen Anfangswerten aber eine eindeutige Losg. Wir haben gezeigt, das die gegebene Fkt. eine Lösung ist. fertig.
Ist das ausführlich genug?
Gruss lduart
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