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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:09 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo!
Also meine Aufgabe lautet:
Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] , a < b und f [mm] \in [/mm] C([a,b]). Zeigen Sie, dass es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine stückweise (affin-) lineare Funktion g [mm] \in [/mm] C([a,b]) gibt, so dass
[mm] sup_{x \in [a,b]} | f(x) - g(x) | \le \varepsilon [/mm]
gilt.
Zeigen Sie ferner, dass g [mm] \in [/mm] C([a,b]) so gewählt werden kann, so dass zusätzlich gilt g(a) = g(b), falls f(a) = f(b).
Ich komme mit solchen Aufgaben nicht klar, die mit " Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0..." beginnen. Könnte mir jemand sagen was ich hier genau zeigen muss und wie ich ran gehen sollte damit ein ordentlicher Beweis zustande kommt.
Ich habe leider keine Ansätze.
Danke, Gruß
Tito
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Grüße!
Also, hier nur ein kleiner Ansatz - den formalen Beweis mußt Du dann selbst machen.
$f$ ist eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall - damit ist $f$ automatisch gleichmäßig stetig.
Damit folgt, dass es zu dem gegebenen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt, so dass für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ gilt: falls $y [mm] \in [/mm] [a,b]$ ist mit $|x - y| < [mm] \delta$, [/mm] dann folgt $|f(x) - f(y)| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Wenn Du jetzt das Intervall unterteilst und die Feinheit der Unterteilung kleiner ist als [mm] $\delta$ [/mm] (evtl. mußt Du auch [mm] $\frac{\delta}{2}$ [/mm] nehmen...) und Du zwischen den Stützstellen linear interpolierst - kannst Du dann die Behauptung zeigen?
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo Lars!
Danke für die schnelle Reaktion.
> Wenn Du jetzt das Intervall unterteilst und die Feinheit
> der Unterteilung kleiner ist als [mm]\delta[/mm] (evtl. mußt Du auch
> [mm]\frac{\delta}{2}[/mm] nehmen...) und Du zwischen den
> Stützstellen linear interpolierst - kannst Du dann die
> Behauptung zeigen?
Leider nicht....
Dadurch dass f nun gleichmäßig stetig ist (den Satz hab ich in meinem Ana I Skript auch wiedergefunden) habe ich zwar eine weitere Eigenschaft für f aber ich kann damit leider nichts anfangen.
Ich weiß nun nicht was ich finden muss, ich dachte ich muss eine stückweise affin-lineare Funktion g [mm] \in [/mm] C([a,b]) finden, damit die Behauptung gezeigt ist, aber wenn ich dich jetzt richtig verstanden hab muss ich ein [mm] \delta [/mm] finden damit ich folgern kann, dass [mm] sup_{x \in [a,b]}|f(x)-g(x)| \le \varepsilon [/mm] mit den entsprechenden Voraussetzungen.
Ich habe diese ganzen [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] (Stetigkeits-)beweise nie so richtig verstanden.
Und kannst mir noch sagen was das heißt
> zwischen den Stützstellen linear interpolierst
?
Danke, Gruß
Tito
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Hallo Tito,
> Ich weiß nun nicht was ich finden muss, ich dachte ich
> muss eine stückweise affin-lineare Funktion g [mm]\in[/mm] C([a,b])
> finden, damit die Behauptung gezeigt ist,
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Da hast Du richtig gedacht.
> > zwischen den Stützstellen linear interpolierst
Das bedeutet die Funktionswerte an den Enden des Intervalls durch eine Gerade verbinden .. und so eine stückweise affin lineare Funktion erzeugen.
gruß
mathemaduenn
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