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| Aufgabe | Ich habe eigentlich nur zwei kurze Fragen und eine Rechnung mit der bitte mir zu sagen, ob es so in ordnung ist.
aufgabe 1) Zeigen sie, dass die Seitenhalbierende ein dreieck in gleiche Flächen aufteilt
aufgabe 2) Zeige: Affinitäten bilden parallele Geraden auf parallele Geraden ab |
So zu 1)
ich hatte wirklich keinen Plan in der Klausur, wie ich das zeigen soll.
Wir durften keine Formelsammlung benutzen nichts. Ich wusste nur noch aus der Vorlesung, dass wir den Flächeninhalt folgendermaßen definiert haben:
A[mm]=\frac{1}{2}\left |det(a,b,c) \right |[/mm]
und die Seitenhalbierende trifft zum Beispiel die seite AB bei [mm]\frac{1}{2}(a+b)[/mm]
So habe ich mir gedacht, da ja die beiden flächen gleich sein müssen, erstelle ich nen Gleichungssystem folgendermaßen:
[mm]\frac{1}{2}\left |det(a,\frac{1}{2}(b+c),c) \right |=\frac{1}{2}\left |det(\frac{1}{2}(a+b),b,c) \right |[/mm] beide seiten mit 2 multiplizieren und dann auflösen, sodass auf beiden seiten das gelche steht. Gild das asl beweis?
Zu 2)
In der Volresung haben wir affinitäten in der form :
[mm]f(x)=Ax+b[/mm]
Ich habe mir zwei parallele Geraden G,H definiert:
G: [mm]\vektor{a_1 \\
a_2 }+\lambda\vektor{c_1 \\
c_2}[/mm] und H:[mm]\vektor{d_1 \\
d_2 }+\mu\vektor{e_1 \\
e_2}[/mm] da G und H parallel sind die Richtungsvektoren linear abhängig
d.h. [mm]\vektor{c_1 \\
c_2}=\mu\vektor{e_1 \\
e_2}[/mm] jetzt ahbe ich die Gerad G in die Form eingesetzt und erhalte:
[mm]A(\vektor{a_1 \\
a_2 }+\lambda\vektor{c_1 \\
c_2})+b
= A\vektor{a_1 \\
a_2 }+A\lambda\vektor{c_1 \\
c_2}+b[/mm], da aber [mm]\vektor{c_1 \\
c_2}=\mu\vektor{e_1 \\
e_2}[/mm] gilt
folgt:[mm]
A\vektor{a_1 \\
a_2 }+A\lambda\mu\vektor{e_1 \\
e_2}+b,\mu,\lambda\in\IR[/mm], da lambda un mü nur vielfaches sind, ist das ein beweis für die aufgabe, dass afininitäten parallele geraden auf parallel abbilden??
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> Ich habe eigentlich nur zwei kurze Fragen und eine Rechnung
> mit der bitte mir zu sagen, ob es so in ordnung ist.
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> aufgabe 1) Zeigen sie, dass die Seitenhalbierende ein
> dreieck in gleiche Flächen aufteilt
>
> aufgabe 2) Zeige: Affinitäten bilden parallele Geraden auf
> parallele Geraden ab
>
> So zu 1)
>
> ich hatte wirklich keinen Plan in der Klausur, wie ich das
> zeigen soll.
> Wir durften keine Formelsammlung benutzen nichts. Ich
> wusste nur noch aus der Vorlesung, dass wir den
> Flächeninhalt folgendermaßen definiert haben:
>
> A[mm]=\frac{1}{2}\left |det(a,b,c) \right |[/mm]
Hallo,
"definiert" hattet Ihr den Flächeninhalt so sicher nicht, allenfalls geszeigt, daß man ihn so berechnen kann.
Allerdings bin ich diesbezüglich skeptisch: sollen a,b,c die Ortsvektoren der Eckpunkte sein? Dann hätte jedes Dreieck, dessen einer Eckpunkt (0|0|0) ist, den Flächeninhalt 0...
> und die
> Seitenhalbierende trifft zum Beispiel die seite AB bei
> [mm]\frac{1}{2}(a+b)[/mm]
>
> So habe ich mir gedacht, da ja die beiden flächen gleich
> sein müssen, erstelle ich nen Gleichungssystem
> folgendermaßen:
>
> [mm]\frac{1}{2}\left |det(a,\frac{1}{2}(b+c),c) \right |=\frac{1}{2}\left |det(\frac{1}{2}(a+b),b,c) \right |[/mm]
> beide seiten mit 2 multiplizieren und dann auflösen,
> sodass auf beiden seiten das gelche steht. Gild das asl
> beweis?
>
>
> Zu 2)
>
> In der Volresung haben wir affinitäten in der form :
> [mm]f(x)=Ax+b[/mm]
So sehen affine Abbildungen aus.
Affinitäten sind spezielle affine Abbildungen, was zur Folge hat, daß A eine Besonderheit hat. Welche?
> Ich habe mir zwei parallele Geraden G,H definiert:
> G: [mm]\vektor{a_1 \\
a_2 }+\lambda\vektor{c_1 \\
c_2}[/mm] und
> H:[mm]\vektor{d_1 \\
d_2 }+\mu\vektor{e_1 \\
e_2}[/mm] da G und H
> parallel sind die Richtungsvektoren linear abhängig
> d.h. [mm]\vektor{c_1 \\
c_2}=\mu\vektor{e_1 \\
e_2}[/mm]
Nimm hier nicht [mm] \mu, [/mm] das ist doch Dein Parameter von oben.
Du kannst sagen: es gibt ein [mm] k\in \IR [/mm] mit [mm] \vektor{c_1 \\ c_2}=k\vektor{e_1 \\ e_2.}
[/mm]
Oder Du machst Dir's bequemer und sagst:
[mm] G:\quad \vec{x}=$\vektor{a_1 \\ a_2 }+\lambda\vektor{c_1 \\ c_2}$ [/mm] und
[mm] H:\quad \vec{x}=$\vektor{d_1 \\ d_2 }+\mu\vektor{e_1 \\ e_2}$
[/mm]
> jetzt
> ahbe ich die Gerad G in die Form eingesetzt und erhalte:
> [mm]A(\vektor{a_1 \\
a_2 }+\lambda\vektor{c_1 \\
c_2})+b = A\vektor{a_1 \\
a_2 }+A\lambda\vektor{c_1 \\
c_2}+b[/mm],
Nun müßtest Du die andere Gerade aber auch noch einsetzen und dann Deine Schlüsse ziehen.
Gruß v. Angela
> da aber [mm]\vektor{c_1 \\
c_2}=\mu\vektor{e_1 \\
e_2}[/mm] gilt
> folgt:[mm] A\vektor{a_1 \\
a_2 }+A\lambda\mu\vektor{e_1 \\
e_2}+b,\mu,\lambda\in\IR[/mm],
> da lambda un mü nur vielfaches sind, ist das ein beweis
> für die aufgabe, dass afininitäten parallele geraden auf
> parallel abbilden??
>
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Also:
Jupp, mit der Formel haben wir gezeigt, dass man damit den Flächeninhalt berechnen kann. Ist den mein ansatz richtig, dass ich versuche zu zeigen, dass die beiden flächen identishc sind?
bei der Formel sind die Punkte a,b,c die eckpunkte des dreiecks. Was mir jetzt nur einfällt ist, könnte man doch den beweis ohne einschränkungen für
[mm]c=\vektor{0 \\
0}[/mm] annehmen,sonst könnte ma ja das beliebige Dreieck zumindest einen ekcpunkt auf den nullpunkt verschieben. Dabei würde sich die Fläche nicht verändern.
[mm] \frac{1}{2}\left |det(a,\frac{1}{2}(b+a),c) \right |=\frac{1}{2}\left |det(\frac{1}{2}(a+b),b,c) \right | [/mm]
[mm]\gdw \left|det(a,\frac{1}{2}(b+a),c) \right |=\left |det(\frac{1}{2}(a+b),b,c) \right | [/mm]
[mm]\gdw \left|det(a-c,\frac{1}{2}(a+b)-c) \right |=\left |det(\frac{1}{2}(a+b)-c,b-c) \right | [/mm] für c=[mm]\vektor{0 \\
0}[/mm]
Falls ein eckpunkt null wäre, wie in diesem fall c, ist die fläche nicht unbedingt null. siehe oben und Determinatenregel
folg die gleichheit der Flächen. ich habs in der Klausr mit c beliebig gemacht. würde es auch gehen? War ne riesen rechnung.
Kurz noch zu deine Antwort. Als hab ich die aufgabe mit den affinitäten richtig, oder?
Was sagst du zu der Aufgabe mit dem Flächeninhalt?
Vielen lieben dank
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> Also:
>
> Jupp, mit der Formel haben wir gezeigt,
Hallo,
hast Du gelesen, was ich Dir dazu geschrieben habe?
Die Sache mit dem Nullpunkt überlegt?
Hast Du nochmal nachgeschaut, ob die Formel wirklich so war?
> dass man damit den
> Flächeninhalt berechnen kann. Ist den mein ansatz richtig,
> dass ich versuche zu zeigen, dass die beiden flächen
> identishc sind?
Ja natürlich mußt Du zeigen, daß die beiden Flächen gleich sind, das ist doch die zu zeigende Behauptung.
> bei der Formel sind die Punkte a,b,c die eckpunkte des
> dreiecks.
s.o.
> Was mir jetzt nur einfällt ist, könnte man doch
> den beweis ohne einschränkungen für
> [mm]c=\vektor{0 \\
0}[/mm] annehmen,sonst könnte ma ja das
Ach. Du bist im Zweidimensionalen?
Dann ist das ja etwas komisch mit Deiner Determinante...
Die Matrix wäre ja [mm] 2\times [/mm] 3.
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Jetzt geht mir ein Licht auf: es geht um ein Dreieck in der euklidischen Ebene, und a,b,c sollen die Eckpunkte in homogenen Koordinaten sein. Ist das so?
Dann sieht die Sache anders aus, und Deine Flächenformel stimmt plötzlich.
Sollte man vielleicht dazusagen...
ja, wenn das so gedacht ist, dann stimmt Deine Idee.
Allerdings mußt Du nicht, wie Du schriebst
> [mm] \frac{1}{2}\left |det(a,\frac{1}{2}(b+c),c) \right |=\frac{1}{2}\left |det(\frac{1}{2}(a+b),b,c) \right | [/mm]
vorrechnen,
sondern
[mm] \frac{1}{2}\left |det(a,\frac{1}{2}(\red{a+b}),c) \right |=\frac{1}{2}\left |det(\frac{1}{2}(a+b),b,c) \right | [/mm] .
Eine Riesenrechnung hat man nicht, wenn man weiß, daß man Vielfache von Spalten zu anderen Spalten addieren darf, ohne daß die Det. sich ändert, und daß man Spaltenfaktoren herausziehen kann.
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> Kurz noch zu deine Antwort. Als hab ich die aufgabe mit den
> affinitäten richtig, oder?
Du hast gelesen, was ich geschrieben habe?
Du mußt die Abbildung auf beide Geraden loslassen und dann glaubhaft machen, daß die Bilder Geraden sind, und daß diese Bildgeraden gleiche Richungsvektoren haben.
Daß Du das getan hast, konnte ich noch nicht gut erkennen.
Gruß v. Angela
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Oh man, ich hab in der klausr vergessen die zweite gerade benfalls in die Affinität einzusetzten und zu vergleichen:-( Hab das nur mit der einen Gerade gemacht und habe gezeigt, dass die affinität wieder sozusagen einen Richtungsvektor hat und einen Punkt aus dem [mm] R^2. [/mm] Und das dieser richtungsvektor linear abhängig zu der anderen Geradnaffinität ist.
Und ich glaube, dass ich in der klasur vergessen ahben zu erwähnen, dass A die Einheitsmatrix sein muss, oder?
Echts chade, weils ja sehr offensichtlich ist.
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> Oh man, ich hab in der klausr vergessen die zweite gerade
> benfalls in die Affinität einzusetzten und zu
> vergleichen:-( Hab das nur mit der einen Gerade gemacht und
> habe gezeigt, dass die affinität wieder sozusagen einen
> Richtungsvektor hat und einen Punkt aus dem [mm]R^2.[/mm] Und das
> dieser richtungsvektor linear abhängig zu der anderen
> Geradnaffinität ist.
> Und ich glaube, dass ich in der klasur vergessen ahben zu
> erwähnen, dass A die Einheitsmatrix sein muss, oder?
Hallo,
die Einheitsmatrix muß A nicht sein, aber invertierbar.
Und dies ist wichtig, denn sonst könnte der Vektor [mm] A*(\lambda\vektor{c_1\\c_2} [/mm] der Nullvektor sein.
Gruß v. Angela
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In der Vorlesung hatte der Prof nen Beweis durchgeführt, dass affinitäten geraden auf geraden abbildet und auch nicht dazu erläutert, dass die matrix A eine invertierbare Matrix sein muss. Wikrlich seltsam oder macht das nen unterschied?
Hoffe ich bekomme paar punkte für die aufgabe
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> In der Vorlesung hatte der Prof nen Beweis durchgeführt,
> dass affinitäten geraden auf geraden abbildet
Hallo,
das darfst Du dann natürlich benutzen und mußt nur noch die Parallelität glaubhaft machen.
> und auch
> nicht dazu erläutert, dass die matrix A eine invertierbare
> Matrix sein muss.
Ich würde schon denken, daß die Bijektivität der Abbildung irgendwie vorkam. Vielleicht hast Du's nicht gemerkt? (Lach nicht, sowas kommt vor!)
Gruß v. Angela
> Wikrlich seltsam oder macht das nen
> unterschied?
>
> Hoffe ich bekomme paar punkte für die aufgabe
>
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> aufgabe 1) Zeigen sie, dass die Seitenhalbierende ein
> dreieck in gleiche Flächen aufteilt
Hallo,
wird da wirklich verlangt, dass man einen geometrischen
Sachverhalt, den jeder, der die Flächenformel für das
Dreieck kennt, sofort einsehen und beweisen kann, auf
verschlungenen Wegen mit Formeln aus der Vektorgeo-
metrie beweisen soll ?
Falls ja, findet ihr das nicht auch ein bisschen stréindsch ??
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mo 11.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
> wird da wirklich verlangt, dass man einen geometrischen
> Sachverhalt, den jeder, der die Flächenformel für das
> Dreieck kennt, sofort einsehen und beweisen kann, auf
> verschlungenen Wegen mit Formeln aus der Vektorgeo-
> metrie beweisen soll ?
Ansatz Beschäftigungstherapie, ganz en vogue etwa von Mitte der 1950er bis Ende der 1970er Jahre.
> Falls ja, findet ihr das nicht auch ein bisschen
> stréindsch ??
Nein, ökstens öng pö etrongsch (of een béétje vreemd, als je een voorkeur voor het Nederlands hebt).
vi ses,
reverend
> LG Al
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