Sekantensatz an Sphäre im R(n) < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei S [mm] \subset \IR(n) [/mm] eine Sphäre, d.h. die Menge aller Punkte, die zu einem vorgegebenen Punkt M den festen Abstand r haben. Weiterhin sei X ein beliebiger Punkt (X [mm] \not\in [/mm] S).
Für jede Gerade G durch X, die S schneidet, bezeichnen wir mit p(G) das Produkt |XA||XB|, wobei A und B die beiden Schnittpunkte von G mit S sind.
Man zeige den Sekantensatz, d.h. dass p(G) nicht von G abhängt, m.a.W. p(G) ist durch S und X eindeutig bestimmt.
Hinweise:
- Man drücke |XA||XB| als Skalarprodukt aus.
- Man nutze |MA|=|MB|.
-Man nutze, dass X, A und B kolinear sind. Also: Was senkrecht zu AB ist, ist auch senkrecht zu AX. |
Also, ich habe versucht, über die Skalarproduktgleichung zu gehen, die zu dem Ergebnis [mm] |x_{1}a_{1}+....+x_{n}a_{n}||x_{1}b_{1}+...+x_{n}b_{n}| [/mm] = p(G) führt und die Beziehung |MA|=|MB|=r einzubeziehen. Jedoch ohne nennenswerten Erfolg. Mir fehlt irgendwie nochn kleiner Stubbser in die richtige Richtung, wie ich dann jetzt weiter komme.
Danke für die Hilfe schonmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 So 27.01.2008 | | Autor: | abakus |
Um die Bedingung [mm] \overline{MA}= \overline{MB} [/mm] sinnvoll nutzen zu können, bietet es sich an, den in der Mitte von [mm] \overline{AB} [/mm] liegenden Fußpunkt (nennen wir ihn H) des Lotes von M auf AB zu nutzen.
Dann gilt [mm] \vec{MA}=\vec{MH}+\vec{HA} [/mm] und [mm] \vec{MB}=\vec{MH}-\vec{HA}.
[/mm]
MH senkrecht auf HA bzw. HB und der Richtungsvektor von XA bzw YA ist ein Vielfaches von HA.
Ach so, ich bin hier vom dreidimensionalen Anschauungsraum ausgegangen. Ich hoffe, die Idee lässt sich auf n Dimensionen übertragen?
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Also, die Idee mit dem Punkt H ist auf jeden Fall nützlich, das stimmt, weil im [mm] \IR^{2} [/mm] ja durch die Gerade G, also dann die Punkte M, A und B ein Dreieck aufgespannt wird, welches durch das Lot in zwei identische Teildreiecke geteilt wird, die auch noch rechtwinklig sind (logischerweise, is ja n Lot). Das Problem, dass ich noch nich mal hundert prozentig sicher bin, wo ich eigentlich genau hin muss bei dem Beweis, weil es steht nur da "Man zeige den Sekantensatz". Der steht aber nirgends. Das einzige, was ich dazu bisher gefunden habe, betrifft immer zwei Sekanten am Kreis im [mm] \IR^{2} [/mm] und die Extrapolation dieses Falls auf den gegebenen im [mm] \IR^{n} [/mm] ist mir irgendwie einfach nicht möglich. Also viele kleine Problemchen, die da zusammen kommen.
Das große Problem ist eben der Abstraktionsgrad der Aufgabe und einmal der richtige Ansatz mit dem Wissen wo ich eigentlich hin muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 So 27.01.2008 | | Autor: | abakus |
Der Sekantensatz gilt auch für das Durchstoßen einer Kugel mit einer Geraden. Man muss nur die einen Kreis um M legen, der durch die beiden Durchstoßpunkte geht und hat damit das Problem wieder auf einen Kreis reduziert
Und das "Lot fällen bzw. "senkrecht stehen" im n-dimensionalen Raum ist durch "Skalarprodukt=0" eideutig geklärt. Du kannst doch auch im R(n) den Mittelpunkt zweier Punkte bestimmen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 So 27.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Sekantensatz sagt doch genau das: Das Produkt der Abschnitte auf der einen Sehne= dem auf der anderen Sehne, anders ausgedrückt, es ist nicht von der Geraden durch den Punkt abhängig.
Du musst also für 2 beliebige Geraden , die ja eine Ebene und damit nen Kreis festlegen nur beweisen |XA|*|XB|=|XA'|*|XB'| wobei a'B' die Schnittpkte ner anderen Geraden ist.
Damit hast du ein ebenes Problem, musst also nur 2d- Vektoren nehmen.
Wie man das geschickt mit Skalaprod. macht fällt mir grad nicht ein, der elementargeometrische Beweis läuft über Sehnenwinkelsatz.
Gruss leduart
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