Sektglas - Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Mi 21.04.2004 | | Autor: | Ute |
Wieviel Sekt geht maximal in einen Sektkelch mit der Mantellinie s?
Das Kegelvolumen (1. Zielfunktion):
V(r,h) = 1/3 * pi(3,14) *r² * h
(2. Nebenbedingung): r² + h² = s²
Die Mantellänge s beträgt 9cm, weitere Größen sind unbekannt: Radius r und Höhe h
Folgendes haben wir selber in der Schule gemacht:
(3. Definitionsbereich): (xER | 0<x<9)
(4. Zielfunktion): V(h)= 1/3 * pi(3,14) * (s²-h²) *h²
Ist der Ansatz richtig? Aber wie geht es dann weiter? Muss man dann für s²=81cm² einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Mi 21.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Ute
> Wieviel Sekt geht maximal in einen Sektkelch mit der
> Mantellinie s?
> Das Kegelvolumen (1. Zielfunktion):
> V(r,h) = 1/3 * pi(3,14) *r² * h
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (2. Nebenbedingung): r² + h² = s²
>
> Die Mantellänge s beträgt 9cm, weitere Größen sind
> unbekannt: Radius r und Höhe h
>
> Folgendes haben wir selber in der Schule gemacht:
>
> (3. Definitionsbereich): (xER | 0<x<9)
>
Da wäre noch zu klären: wofür steht hier das [mm]x[/mm]?
Ich denke, ihr meint damit [mm]h[/mm]
> (4. Zielfunktion): V(h)= 1/3 * pi(3,14) * (s²-h²) *h²
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt nicht ganz. Das "Hoch 2" beim h ganz rechts ist wohl aus Versehen hineingeraten?!
Hier würde ich, wenn ihr beim Definitionsbereich bei der Bezeichnung [mm]x[/mm] bleiben wollt, anstelle von [mm]h[/mm] eher [mm]x[/mm] einsetzen.
> Ist der Ansatz richtig? Aber wie geht es dann weiter? Muss
> man dann für s²=81cm² einsetzen?
>
Ja, früher oder später müsst ihr das. (Ich würde aber eher "später" bevorzugen)
Bis hierhin habt ihr also alles, ausser dem kleinen Flüchtigkeitsfehler, richtig gemacht! Das ist super!! 
Jetzt müsst ihr euch nur noch überlegen, wies denn weitergehen soll (das ist ja gerade eure Frage).
Nun, ihr habt ja jetzt eine Formel (Funktion) für das Volumen als Funktion von [mm]h[/mm], oder mit eurer Bezeichnung als Funktion von [mm]x[/mm]
[mm] Volumen = \bruch {1}{3} * \pi * (s^2-h^2) * h[/mm]
oder eben so:
[mm] y = \bruch {1}{3} * \pi * (s^2-x^2) * x[/mm]
(Weil [mm]s[/mm] ja fest vorgegeben ist, handelt es sich hier also nur noch um eine Funktion von [mm]x[/mm])
Die zu beantwortende Frage ist also jetzt nur noch, bei welchem [mm]x[/mm] nimmt obige Funktion ein Maximum an. (Kleiner Tipp: 1. Ableitung (nicht weitersagen))
So, ich glaube, jetzt schafft ihr die weiteren Schritte weiter. Falls nicht, müsst ihr euch halt wieder melden! 
Mit vielen Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mi 21.04.2004 | | Autor: | Ute |
Ich verstehe leider gar nicht, wo es da noch etwas zum Ableiten gibt. Durch die Antwort bin ich jetzt nicht viel weiter gekommen. Die Formeln hatte ich ja schon :-(
Aber danke, dass ihr mich auf meine Tippfehler hingewiesen habt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mi 21.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Ute
> Ich verstehe leider gar nicht, wo es da noch etwas zum
> Ableiten gibt. Durch die Antwort bin ich jetzt nicht viel
> weiter gekommen. Die Formeln hatte ich ja schon :-(
Also diese (korrigierte):
[mm]y=\bruch{1}{3} * \pi * (s^2-x^2) * x[/mm]
Das ist also die Funktion, welche aus einer gegebenen Höhe [mm]x[/mm] das Volumen [mm]y[/mm] berechnet.
(Das könnte nun doch auch als Graph im Koordinatensystem gezeichnet werden).
Die Fragestellung war jetzt aber doch die, mit welcher Höhe (unser [mm]x[/mm] )das Volumen (unser [mm]y[/mm] )am grössten wird.
Dazu muss man doch einfach die 1. Ableitung bilden und diese Null setzten. Die entstandene Gleichung nach [mm]x[/mm] auflösen, und schon sind wir fertig!
Vielleicht noch ein kleiner Trick (Ueberlegung) dazu: wenn du von einer Funktion lediglich die Maximalstellen, die Minimalstellen oder Nullstellen suchst, so kannst du diese Funktion beliebig vor dem Rechnen mit einer konstanten Zahl multiplizieren (aber bitte nicht mit Null). Die Maximalstellen, Minimalstellen oder Nullstellen verschieben sich durch eine solche Multiplikation nicht. (Der Graph der Funktion wird ja lediglich in der [mm]y[/mm]-Richtung gestreckt oder gestaucht)
somit kann ich ohne Bedenken vor dem Aufspüren der Maximalstelle unsere Funktion
[mm]y=\bruch{1}{3} * \pi * (s^2-x^2) * x[/mm]
mit [mm]\bruch{3}{\pi}[/mm] multiplizieren und erst nachher die Ableitung bilden.
Also:
[mm]y= (s^2-x^2) * x[/mm]
oder
[mm]y= s^2*x-x^3[/mm]
Jetzt die erste Ableitung bilden:
[mm]y' = s^2-3*x^2[/mm]
... und dieses Null setzten:
[mm]s^2-3*x^2 = 0[/mm]
Jetzt diese Gleichung nach [mm]x[/mm] auflösen. Bei diesem [mm]x[/mm] nimmt das Volumen also ein Maximum an.
Dieses [mm]x[/mm] könnt ihr nun in der Formel für das Volumen (jetzt wieder mit [mm]\pi[/mm] und [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ) einsetzen und erhaltet somit die maximale Füllmenge.
Probiert das doch mal aus, und teilt mir das Ergebnis mit!
Viele Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Do 22.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Ute
... und noch was. Ich habe mir noch überlegt, warum du nicht mehr weiterkommst. Ich vermute mal deshalb, weil du gar nicht richtig weisst, was die Aufgabe überhaupt wissen will.
Dazu hilft vielleicht noch folgende Anmerkung:
Es gibt ja verschiedene Sektgläser zu kaufen, die einen sind hoch und schlank, die anderen eher breit, aber dafür nicht mehr so hoch (aber alle sollen trichterförmig sein). Jetzt ist die Frage, was für ein Sektglas musst du kaufen, damit möglichst viel Gutes darin Platz hat. In welchem Verhältnis sollen z.B. der Radius und die Höhe zueinander stehen?
Oder gesetzt der Fall, du bist Sektglasproduzent und kannst die Proportionen selber bestimmen. In welcher Proportion müssten dann Höhe und Radius sein, damit deine Kunden zufrieden sind (vom Gesichtspunkt der maximalen Füllmenge, nicht aus ästhetischer Sicht).
Damit du nun nicht einfach auf die Idee kommst, ein 2 Meter hohes Sektglas zu produzieren, wird in der Aufgabe halt noch die Einschränkung (Nebenbedingung) gemacht, dass die Mantellinie 9 cm lang sein soll.
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
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