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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:30 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Richler |
| Aufgabe | | Seien V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum und f [mm] \in [/mm] L(V, V ). Zeigen Sie, dass f genau dann selbstadjungiert ist, wenn <f(v), v> [mm] \in \IR [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöchen =) ,
ich poste einfach mal , was ich habe und hoffe auf Hilfe und Korrektur .
Zu zeigen: [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V : <f(v),w> = < v,f(w) > [mm] \gdw \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V: [mm] \in \IR.
[/mm]
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei v [mm] \in [/mm] V und f eine selbstadjungierte Abbildung, dann gilt: <f(v),v> = (Def. Selbstadjungierte) <v,f(v)> = (Def. hermitesche Sesquilinearform) [mm] \overline{}
[/mm]
Also <f(v),v> = [mm] \overline{}. [/mm]
Da v [mm] \in [/mm] V beliebig gewählt wurde, folgt daraus, dass [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V : <f(v),v> [mm] \in \IR [/mm] gilt.
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Sei v [mm] \in [/mm] V und <f(v),v> [mm] \in \IR [/mm] .
Dann gilt <f(v),v> = [mm] \overline{} [/mm] = <v,f(v)> [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V
Sei v= u+ w , wobei u, w [mm] \in [/mm] V, dann gilt :
< f(u) + f(w) , u+w> = < u + w, f(u) + f(w) > = f [mm] \overline{< f(u),u> + < f(u),w> + + }
[/mm]
= < f(u),u> + < f(w),w> + [mm] \overline{ + < f(w), u >} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] < f(u),w> + <f(w),u> = < u, f(w) > + <w,f(u)> = [mm] \overline{} [/mm] + [mm] \overline{}
[/mm]
Hier komme ich jetzt nicht weiter. Ich muss ja irgendwie zeigen, dass <f(u),w> = <u,f(w)> bzw. <f(w),u> = <w,f(u)> , aber wie?
Ich hoffe sehr auf eure Hilfe.
Liebe Grüße und schon mal ein großes Dankeschön
Richler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Mi 22.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum und
> f [mm]\in[/mm] L(V, V ). Zeigen Sie, dass f genau dann
> selbstadjungiert ist, wenn <f(v), v> [mm]\in \IR[/mm] für alle v
> [mm]\in[/mm] V gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallöchen =) ,
>
> ich poste einfach mal , was ich habe und hoffe auf Hilfe
> und Korrektur .
>
> Zu zeigen: [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in[/mm] V : <f(v),w> = < v,f(w) > [mm]\gdw \forall[/mm]
> v [mm]\in[/mm] V: [mm]\in \IR.[/mm]
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Sei v [mm]\in[/mm] V und f eine selbstadjungierte
> Abbildung, dann gilt: <f(v),v> = (Def. Selbstadjungierte)
> <v,f(v)> = (Def. hermitesche Sesquilinearform)
> [mm]\overline{}[/mm]
>
> Also <f(v),v> = [mm]\overline{}.[/mm]
>
> Da v [mm]\in[/mm] V beliebig gewählt wurde, folgt daraus, dass
> [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V : <f(v),v> [mm]\in \IR[/mm] gilt.
Das ist O.K.
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm] Sei v [mm]\in[/mm] V und <f(v),v> [mm]\in \IR[/mm] .
>
> Dann gilt <f(v),v> = [mm]\overline{}[/mm] = <v,f(v)>
> [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V
>
> Sei v= u+ w , wobei u, w [mm]\in[/mm] V, dann gilt :
>
> < f(u) + f(w) , u+w> = < u + w, f(u) + f(w) > = f
> [mm]\overline{< f(u),u> + < f(u),w> + + }[/mm]
>
> = < f(u),u> + < f(w),w> + [mm]\overline{ + < f(w), u >}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] < f(u),w> + <f(w),u> = < u, f(w) > + <w,f(u)> =
> [mm]\overline{}[/mm] + [mm]\overline{}[/mm]
>
> Hier komme ich jetzt nicht weiter. Ich muss ja irgendwie
> zeigen, dass <f(u),w> = <u,f(w)> bzw. <f(w),u> = <w,f(u)> ,
> aber wie?
Bemühe die Polarisationsgleichung
FRED
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> Ich hoffe sehr auf eure Hilfe.
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> Liebe Grüße und schon mal ein großes Dankeschön
>
> Richler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Richler |
danke
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