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Selbstadjungierte Bsp.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Mi 26.08.2009
Autor: neuinformatiker

Aufgabe
Projektionen sind selbstadjungiert: Es sei V = U [mm] \oplus U^\perp. [/mm] Für v, w [mm] \in [/mm] V haben wir dann eine eindeutige Zerlegung v = [mm] v_1+v_2, [/mm] w = [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 [/mm] mit [mm] v_1, w_1 \in [/mm] U, [mm] v_2, w_2 \in U^\perp. [/mm] Ist F die Orthogonalprojektion auf den Untervektorraum U, so gilt

<F(v), w> = [mm] [/mm] = <v, [mm] w_1> [/mm] = <v, f(w)>.  

Diese steht in unserm Script als Beispiel für Selbst adjungierte Endomorphismen.

1- Orthogonalprojektionen sind kein Endomorphismus. Wie können die Selbstadjungiert sein oder sind die Endomorphismen?
Falls ja. Warum?

Danke im Voraus

        
Bezug
Selbstadjungierte Bsp.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Mi 26.08.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Projektionen sind selbstadjungiert: Es sei V = U [mm]\oplus U^\perp.[/mm]
> Für v, w [mm]\in[/mm] V haben wir dann eine eindeutige Zerlegung v
> = [mm]v_1+v_2,[/mm] w = [mm]w_1[/mm] + [mm]w_2[/mm] mit [mm]v_1, w_1 \in[/mm] U, [mm]v_2, w_2 \in U^\perp.[/mm]
> Ist F die Orthogonalprojektion auf den Untervektorraum U,
> so gilt
>  
> <F(v), w> = [mm][/mm] = <v, [mm]w_1>[/mm] = <v, f(w)>.
> Diese steht in unserm Script als Beispiel für Selbst
> adjungierte Endomorphismen.
>
> 1- Orthogonalprojektionen sind kein Endomorphismus. Wie
> können die Selbstadjungiert sein oder sind die
> Endomorphismen?
> Falls ja. Warum?

Es sind Endomorphismen: es sind Abbildungen $V [mm] \to [/mm] V$. Ihr Bild liegt vollstaendig in $U$, aber $U$ liegt in $V$.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Selbstadjungierte Bsp.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:02 Do 27.08.2009
Autor: neuinformatiker

Vielen Dank.

Bezug
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