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| Aufgabe | Sei (V, < . , . >) ein Euklidische Vektorraum, f und g : V->V Selbst adjungierte Endomorphismen.
Zeigen Sie:
f = g [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V : <f(x),x > = <g(x), x> |
Hier ist mein Vorschlag :
<=
<f(x), x> = <g(x), x> [mm] \gdw [/mm] <f(x),x> - <g(x),x> = 0 [mm] \gdw [/mm] <f(x)-g(x), x > = 0
Wegen Positiv Definitheit von Skalarprodukt f(x)-g(x) = 0 [mm] \gdw [/mm] f(x) = g(x)
=>
Wenn die Funktionen gleich sind, sind ihre Skalarprodukt auch gleich.
Die sind Selbstadjungiert. Es habe ich gar nicht benutzt. Falls die nur Adjungiert wären, würde ich genau das gleiche schreiben.
Reicht es? Besonderes für die Richtung "=>" ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Mo 24.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei (V, < . , . >) ein Euklidische Vektorraum, f und g :
> V->V Selbst adjungierte Endomorphismen.
> Zeigen Sie:
> f = g [mm]\gdw \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] V : <f(x),x > = <g(x), x>
> Hier ist mein Vorschlag :
>
> <=
> <f(x), x> = <g(x), x> [mm]\gdw[/mm] <f(x),x> - <g(x),x> = 0 [mm]\gdw[/mm]
> <f(x)-g(x), x > = 0
> Wegen Positiv Definitheit von Skalarprodukt f(x)-g(x) = 0
Nein! Die positive Definitheit sagt $f(x) - g(x) = 0 [mm] \Leftrightarrow \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] V : [mm] \langle [/mm] f(x) - g(x), y [mm] \rangle [/mm] = 0$. Nur weil du ein solches $y$ hast (naemlich $y = x$) folgt da erstmal nicht $f(x) = g(x)$ raus.
Du musst hier schon verwenden, dass $f$ und $g$ selbstadjungiert sind.
Tipp: selbstadjungierte Endomorphismen sind diagonalisierbar.
> =>
> Wenn die Funktionen gleich sind, sind ihre Skalarprodukt
> auch gleich.
Das ist ok.
LG Felix
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Die Richtung " <= " kann ich leider nicht beweisen.
Ich bitte um Hilfe.
Grüß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Mi 26.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Richtung " <= " kann ich leider nicht beweisen.
>
> Ich bitte um Hilfe.
1. Sind $f, g$ selbstadjungiert, so auch $f - g$.
Dann weisst du:
2. Du kannst also $f - g$ diagonalisieren.
3. Es gilt [mm] $\langle [/mm] (f - g)(x), x [mm] \rangle [/mm] = 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] V$.
Folgere daraus:
4. Es gibt eine Basis [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] von $V$ mit $(f - [mm] g)(v_i) [/mm] = 0$ fuer alle $i$.
5. Es gilt $f - g = 0$.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Do 27.08.2009 | | Autor: | felixf |
> Wo kommt 3 her?
Aus der Aufgabenstellung.
LG Felix
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Danke für die ganzen Antworten.
In der Aufgabenstellung sehe ich das nicht. Kannst du kurz erklären bitte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Fr 28.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Danke für die ganzen Antworten.
>
> In der Aufgabenstellung sehe ich das nicht. Kannst du kurz
> erklären bitte.
Da steht [mm] $\langle [/mm] f(x), x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] g(x), x [mm] \rangle$. [/mm] Das kannst du umformen zu [mm] $\langle [/mm] (f - g)(x), x [mm] \rangle [/mm] = 0$.
LG Felix
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