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| Aufgabe | | Ein Funktor [mm] $F\colon\mathcal {C}\longrightarrow\mathcal [/mm] {D} $ heißt semi-voll, wenn aus $ F [mm] (X)\cong [/mm] F (Y) $ stets $ [mm] X\cong [/mm] Y $ folgt. In diesem Fall soll aus $ F (X)=F (X') $ und $ F (Y)=F (Y') $ bereits $F [mm] (\operatorname [/mm] {Hom}(X, Y))=F [mm] (\operatorname [/mm] {Hom}(X', Y')) $ folgen. |
Hallo zusammen,
Obiges ist Teil eines nicht sehr interessanten, technischen Resultats, aber ich kann die Behauptung leider nicht einsehen. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank und Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 So 09.03.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ein Funktor [mm]F\colon\mathcal {C}\longrightarrow\mathcal {D}[/mm]
> heißt semi-voll, wenn aus [mm]F (X)\cong F (Y)[/mm] stets [mm]X\cong Y[/mm]
> folgt. In diesem Fall soll aus [mm]F (X)=F (X')[/mm] und [mm]F (Y)=F (Y')[/mm]
> bereits [mm]F (\operatorname {Hom}(X, Y))=F (\operatorname {Hom}(X', Y'))[/mm]
> folgen.
du brauchst hier, dass aus $F(X) = F(X')$ folgt, dass es einen Isomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : X [mm] \to [/mm] X'$ gibt mit [mm] $F(\varphi) [/mm] = [mm] id_{F(X)}$. [/mm] Damit (und einen solchen Isomorphismus $Y [mm] \to [/mm] Y'$) kannst du zeigen, dass $F(Hom(X, Y)) [mm] \subseteq [/mm] F(Hom(X', Y'))$ und ebenso die andere Inklusion gilt.
LG Felix
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Hi Felix,
Vielen Dank für deine Antwort, ich habe auch in diese Richtung gedacht. Allerdings scheine ich etwas einfaches zu übersehen. Aus der Annahme folgt zunächst einmal, dass überhaupt ein Isomorphismus $ [mm] X\xrightarrow [/mm] {\ [mm] \varphi\ [/mm] } X'$ existiert. Aber ich sehe nicht, warum daraus die Existenz eines solchen folgt, der auf die Identität geschickt wird. Was übersehe ich?
Danke schon einmal und liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Do 13.03.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Vielen Dank für deine Antwort, ich habe auch in diese
> Richtung gedacht. Allerdings scheine ich etwas einfaches zu
> übersehen. Aus der Annahme folgt zunächst einmal, dass
> überhaupt ein Isomorphismus [mm]X\xrightarrow {\ \varphi\ } X'[/mm]
> existiert. Aber ich sehe nicht, warum daraus die Existenz
> eines solchen folgt, der auf die Identität geschickt wird.
> Was übersehe ich?
ich weiss nicht ob du da was uebersiehst. Das hatte ich mich beim Schreiben der Antwort zum Schluss auch gefragt, am Anfang bin ich einfach davon ausgegangen dass es geht 
Mittlerweile frage ich mich, ob die urspruengliche Behauptung ueberhaupt korrekt ist. Nehmen wir einmal die Kategorie bestehend aus X, Y und Y' mit $X [mm] \to [/mm] Y$, $X [mm] \to [/mm] Y'$ und einem IsoM $Y [mm] \to [/mm] Y'$, und dann die Zielkategorie mit den Objekten A und B mit zwei verschiedenen Morphismen $A [mm] \to [/mm] B$ sowie einem nichttrivialen Automorphismus $B [mm] \to [/mm] B$. Der Funktor sollte $X [mm] \to [/mm] A$, $Y [mm] \to [/mm] B$, $Y' [mm] \to [/mm] B$ abbilden und die Morphismen $X [mm] \to [/mm] Y$ und $X [mm] \to [/mm] Y'$ nicht auf den gleichen Morphismus $A [mm] \to [/mm] B$.
Ich hab grad keine Zeit darueber nachzudenken ob das wirklich geht, daswegen lass ich das noch halb offen
LG Felix
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Danke,
Ich werde auch mal über dein mögliches Gegenbeispiel nach. Bevor wir weiter an einer möglicherweise falschen Aussage rätseln, frage ich vielleicht lieber einmal nach, ob ich ![[]](/images/popup.gif) hier den Beweis zu Präposition 1.3.18 überhaupt richtig verstehe, oder ob etwas anderes gemeint ist? Möglich wäre ja auch das.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
Edit: Oh, F ist treu, das habe ich übersehen! Vielleicht ändert das bereits alles...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Do 13.03.2014 | | Autor: | felixf |
Moin UniversellesObjekt,
> Ich werde auch mal über dein mögliches Gegenbeispiel
> nach. Bevor wir weiter an einer möglicherweise falschen
> Aussage rätseln, frage ich vielleicht lieber einmal nach,
> ob ich
> hier
> den Beweis zu Präposition 1.3.18 überhaupt richtig
> verstehe, oder ob etwas anderes gemeint ist? Möglich wäre
> ja auch das.
hmm, ich glaube es ist schon genau das gemeint.
> Edit: Oh, F ist treu, das habe ich übersehen! Vielleicht
> ändert das bereits alles...
Laut dem Text dort wird das ja nicht benoetigt.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 15.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi Felix,
Du scheinst tatsächlich Recht zu haben. Und da die Domäne des Funktors eine Präordnung (d.h. von einem Objekt in ein anderes gibt es höchstens einen Pfeil) ist, ist der Funktor sogar treu. Und er ist nicht nur semi-voll, sondern sogar voll voll und zusätzlich voll subjektiv auf Objekten, also sogar eine Äquivalenz von Kategorien. Viel stärkere Formulierungen kann man ja kaum finden, um die Aussage zu retten. Außer vielleicht, dass er injektiv auf Objekten sein soll, aber dann kann man sich die ganze Wohldefiniertheitsgeschichte schenken.
Edit: Ne, voll ist er doch nicht, allerdings, wenn man es so macht, wie unten.
Wie ich das sehe, kann man sich den nichttrivialen Pfeil $ [mm] B\longrightarrow [/mm] B $ auch sparen, wenn man die Pfeile zwischen $ Y $ und $ Y'$ auf die Identität von $ B $ sendet.
Vielen Dank für dein Mitdenken!
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Fr 14.03.2014 | | Autor: | felixf |
Moin UniversellesObjekt,
> Wie ich das sehe, kann man sich den nichttrivialen Pfeil
> [mm]B\longrightarrow B[/mm] auch sparen, wenn man die Pfeile
> zwischen [mm]Y[/mm] und [mm]Y'[/mm] auf die Identität von [mm]B[/mm] sendet.
ich hab grad nicht viel Zeit, deshalb nur ein kurzer Kommentar: wenn $B$ keinen nicht-trivialen Automorphismus hat, dann hat man doch einen Isomorphismus $Y [mm] \to [/mm] Y'$, der auf die Identitaet abgebildet wird, und kann die Aussage beweisen? (So wie wir das urspruenglich wollten )
Damit der Beweis nicht funktioniert, muessen wir ja verhindern dass es einen IsoM $Y [mm] \to [/mm] Y'$ gibt der auf die Identitaet abgebildet wird.
LG Felix
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Hi,
es ist doch trotzdem $F(Hom(X,Y))$ die Menge des einen Pfeiles [mm] $A\to [/mm] B$ und $F(Hom(X,Y'))$ die Menge des anderen.
Liebe Grüße
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