Separabelität zeigen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] C^{1}([a,b]) [/mm] mit der Norm [mm] ||*||_{\infty,1} [/mm] gegeben [mm] durch||f||_{\infty,1}=||f||_{\infty}+||f'||_{\infty} [/mm] separabel ist |
Hallo,
aus damaligen Vorlesungen weiß man, dass [mm] C^{0}(X)=C(X) [/mm] mit kompaktem metrischen Raum (X,d) bzgl. der Supremumsnorm [mm] ||*||_{\infty} [/mm] separabel ist (man betrachte dazu die Menge aller Polynome mit rationalen Koeffizienten). Das ist meines Wissens nach der Satz von Stone-Weierstraß.
Für die obige Aufgabe wird man wohl die selbe abzählbare Menge, nennen wir sie [mm] P_{\IQ} [/mm] ,die Menge jener Polynome mit rationalen Koeffizienten und Definitionsbereich [a,b] verwenden können. Man zeige also [mm] \overline{P_{\IQ}}=C^{1}([a,b]) [/mm] bzgl. der Norm [mm] ||*||_{\infty,1}
[/mm]
Ich versuche dies gerade mit der beidseitigen Teilmengenrelation zu zeigen.
[mm] p_{n}' [/mm] ist auch ein rationales Polynom. So muss die Grenzfunktion bzgl der Supremumsnorm ja nicht mal differenzierbar sein. Was wir aber auf jeden Fall sagen können, ist, dass ich jede Funktion in [mm] C^{1}([a,b]) [/mm] als Grenzfunktion bzgl. obiger Norm solcher Polynome darstellen kann, da ich das schon für alle stetigen Funktionen machen kann. Wwas mache ich mit der Richtung [mm] \subseteq [/mm] ? Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 17.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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