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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:16 Di 22.12.2015 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Sei [mm] $\Omega=(0,a), [/mm] a>0$ und seien $u(x,t), [mm] v(x,t)\in\mathbb{R}$ [/mm] Funktionen. Betrachte die folgenden Reaktions-Diffusionsgleichungen:
$$
[mm] \partial_tu=\Delta u+\gamma f(u,v)\text{ für }x\in\Omega,t>0,
[/mm]
$$
$$
[mm] \partial_t v=d\Delta v+\gamma g(u,v)\text{ für }x\in\Omega,t>0,
[/mm]
$$
wobei [mm] $d,\gamma>0$.
[/mm]
Es gelten homogene Neumann-Randbedingungen, d.h. für alle [mm] $x\in\partial\Omega$ [/mm] gelte
$$
[mm] \nabla u(x,t)\cdot [/mm] n = [mm] \nabla v(x,t)=0~\forall [/mm] t>0,
$$
wobei $n$ der äußere Normalenvektor sei.
Nun werde in [mm] $(u_0,v_0)$ [/mm] linearisiert. Dies ergibt die folgende Gleichung (in Vektorschreibweise):
$$
[mm] \partial_tW=D\Delta W+\gamma [/mm] AW (*)
$$
wobei
$$
[mm] W=\begin{pmatrix}u-u_0\\v-v_0\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & d\end{pmatrix},\quad A=\begin{pmatrix}f_u(u_0,v_0) & f_v(u_0,v_0)\\g_u(u_0,v_0) & g_v(u_0,v_0)\end{pmatrix}.
[/mm]
$$
Wie kann man (*) lösen? |
Hallo!
Das Einzige, das mir dazu einfällt, ist Separation der Variablen.
Der Ansatz sei also: $W(x,t)=X(x)T(t)c, [mm] c\in\mathbb{R}^2$
[/mm]
Setze ich diesen Ansatz in (*) ein, erhalte ich
$$
[mm] X(x)T'(t)c=T(t)X''(x)Dc+\gamma [/mm] X(x)T(t)Ac.
$$
Formt man dies um, ergibt sich
$$
[mm] \frac{T'(t)}{T(t)}c=\frac{X''(x)}{X(x)}Dc+\gamma [/mm] Ac.
$$
Wie üblich bei der Separation, müssen nun beide Gleichungsseiten konstant sein; hier haben wir Vektoren, von daher gilt also
$$
[mm] \frac{T'(t)}{T(t)}c=\begin{pmatrix}\lambda\\\mu\end{pmatrix}=\frac{X''(x)}{X(x)}Dc+\gamma [/mm] Ac (**)
$$
für Konstanten [mm] $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter machen könnte.
Theoretisch müsste man nun aus (**) zwei Gleichungen ablesen können, so etwas wie $T'(t)=k T(t)$ und $X''(x)=m X(x)$. Aber ich weiß nicht, wie ich solche Gleichungen aus (**) bekomme bzw. ablesen kann, da wir hier Matrizen und Vektoren haben.
Ich kann das Ganze natürlich auch nicht in der Vektorschreibweise machen, denn das verwirrt mich dann doch etwas; dann habe ich das in [mm] $(u_0,v_0)$ [/mm] linearisierte System gegeben durch
$$
[mm] \partial_t w_1=\Delta w_1+\gamma\cdot(f_u(u_0,v_0)w_1+f_v(u_0,v_0)w_2)
[/mm]
$$
$$
[mm] \partial_t w_2=d\Delta w_2+\gamma\cdot (g_u(u_0,v_0)w_1+g_v(u_0,v_0)w_2).
[/mm]
$$
Der Separationsansatz ist jetzt (denke ich)
[mm] $w_1(x,t)=X(x)T(t), w_2(x,t)=Z(x)Y(t)$.
[/mm]
Dies eingesetzt in die erste Gleichung ergibt
das man umformen kann in
Das ist wieder der Punkt, an dem ich nicht weiter komme.
Vielleicht kann mir jemand weiter helfen?
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 24.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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