Separationsansatz < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Fr 10.02.2012 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle (rellen) Lösungen der DGL [mm] 4u_{xx}=u_{t} [/mm] der Gestalt u(x,t)=X(x)T(t), die periodisch in x sind. |
Hallo ich rechne grad ein paar Altklausuren durch und versteh die Musterlösung nicht. Ich habe sie hier auch hochgeladen. Ich versteh das mit Dem Separationsansatz und alles. Aber ab dem roten Strich versteh ich nicht, warum man die Separationskonstante einfach so definieren kann. Kann mir das einer erklären?
Gruß David
Musterlösung
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Fr 10.02.2012 | | Autor: | David90 |
Ok da ich das Bild aus Urheberrechtsgrpnden nicht hochladen kann, schreib ich die Antwort mal hier hin:
Aus dem Ansatz folgt:
[mm] 4\bruch{X''}{X}=\bruch{T'}{T}=C [/mm] Darauf bin ich ja auch gekommen. Und dann steht da:
Nur der Fall einer nicht-positiven Separationskonstanten [mm] C=-\alpha^2 [/mm] liefert periodische Lösungen, nämlich: [mm] \alpha \not=0:
[/mm]
X(x)=a*cos [mm] (\bruch{\alpha}{2}x) [/mm] + [mm] b*sin(\bruch{\alpha}{2}x)
[/mm]
Aus der zweiten gewöhnlichen DGL folgt:
[mm] T(t)=c*e^{-\alpha^2 * t}
[/mm]
Ich versteh nicht wieso sich diese Kontante [mm] \alpha [/mm] ergibt :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Fr 10.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
welche Loesungen hat denn x''=a*x wenn a positiv ist? welche wenn a negativ ist, welche bei a=0
die Moeglichkeiten solltest du kennen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Fr 10.02.2012 | | Autor: | David90 |
bei a=0 ist X''=0... bei den andern beiden kommt es aufs x an oder? aber es geht ja um die Konstante C, da ist ja noch nichts mit a...ich versteh das generell nicht :/ dass die Lösung periodisch sein muss, das zeigt uns, dass die lösung mit sin und cos sein muss oder was mit entsprechenden koeffizienten?
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Fr 10.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die frage ist mit C und a die gleiche:
kennst du die allgemeine Lösung für X(x)''=C*X(x) mit C>0 und mit C<0
wenn du es besser siehst f''(x)=C*f(x) falls dich X als Funktionssymbol stört.
eigentlich müsstest du die kennen. es gibt nur eine fkt deren zweite Ableitung wieder die fkt mit demselben vorzeichen ist, und eine Sorte, , wo die 2 te abl. wieder die fkt mit entgegengesetztem vorzeichen ist.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Sa 11.02.2012 | | Autor: | David90 |
Naja mich stört weniger das X sondern mehr das C^^
Also wir gucken uns die erste DGL an: X''(x)=C*X(x)
So jetzt untersuchen wir den Fall für C [mm] \not= [/mm] 0
Also wir suchen die Funktion X(x) und deren zweite Ableitung muss wieder X(x) ergeben (wenn wir mal von C>0 ausgehen) Naja da würde doch nur die sin- oder cos-Funktion gehen oder? Allerdings wenn man die 2mal ableitet steht das falsche Vorzeichen da, d.h. es würde gelten -X''(x)=X(x). Wenn man von C<0 ausgeht und man sin oder cos 2mal ableitet dann steht da X''(x)=-X(x). Also egal was man sich für ein C aussucht, die DGL ist nicht erfüllt :/
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Sa 11.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
C>0 [mm] X=A*e^{Cx}, [/mm] und [mm] X=B*e^{-Cx} [/mm] sind 2 lin unabh. Loesungen.
C<0 [mm] X=Asin(\wurzel{C}*x) [/mm] und [mm] X=B*cos(\wurzel{C}*x)
[/mm]
sind 2 lin unabh Loesungen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Sa 11.02.2012 | | Autor: | David90 |
Puh und diese Lösungen muss man sehen wenn man weiß, dass die zweite Ableitung wieder die Ausgangsfunktion sein soll ja? Weil ich wär da nie drauf gekommen...z.B. dass das C bei der e-Funktion oben im Exponent steht oder dass im sin und cos [mm] \wurzel{C} [/mm] steht :/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Sa 11.02.2012 | | Autor: | David90 |
Ich versteh zum Beispiel nicht, dass das gleich ist:
[mm] X(x)=Ae^{C*x} X'(x)=AC*e^{C*x} [/mm] und [mm] X''(x)=AC^2*e^{C*x}
[/mm]
und wenn man das einsetzt in die ertse Gleichung steht da:
[mm] AC^2*e^{C*x}=AC*e^{C*x} [/mm] Kann man jetzt sagen die sind gleich, weil man A und C zu einer Konstantne zusammenfassen kann?
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Sa 11.02.2012 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
ich hatte nen fehler, es muss e^{\wurzel{C}) heissen. Aber das hättest du eigentlich sehen müssen.
Du kannst doch einfach Ae^{ax} 2 mal ableiten, dann hast du a^2*A*e^{ax} entsprechend mit sin(ax) abgeleitet -a^2*sin(ax)
dann a^2 mit C gleichsetzen bzw -a^2 mit C
mann sollte die Ableitungen der "einfachen" Funktionen kennen!
A kann man am ende rausdividieren
Gruss leduart
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