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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:10 Fr 07.12.2007 | | Autor: | AnnaB |
| Aufgabe | Zu beweisen ist die Waldsche Identität (Wald's likelihood ratio identity):
Seien [mm] P_0 [/mm] und [mm] P_1 [/mm] zwei Wahrscheinlichkeiten und es existiere ein Likelihood-Quotient [mm] l_n [/mm] für beliebige Zufallsvariablen [mm] z_1,...z_n (P_1 [/mm] in Verhältnis zu [mm] P_0) [/mm] so dass [mm] l_n \in \Phi_n [/mm] und für jedes [mm] Y_n \in \Phi_n [/mm] gilt
[mm] E_1(Y_n) [/mm] = [mm] E_0(l_nY_n) [/mm] (1).
Für jede Stoppzeit T und eine nichtnegative Zufallsvariable Y "vorrangig" T gilt
[mm] E_1(Y;T<\infty) [/mm] = [mm] E_0(Yl_T;T<\infty).
[/mm]
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Hallo!
Ich muss den genanten Satz beweisen und hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.
Folgende Voraussetzungen sind noch für das Verständnis notwendig:
1) [mm] \Phi_n [/mm] ist die Klasse von Zufallsvariablen, die von [mm] z_1,..,z_n [/mm] abhängig sind, d.h. eine Zufallsvariable Y [mm] \in \Phi_n [/mm] genau dann wenn [mm] Y=f(z_1,..,z_n) [/mm]
2) Eine Zufallsvariable T heißt Stoppzeit wenn {T=n} [mm] $\in \Phi_n$ [/mm] für alle n
3) Eine Zufallsvariable Y heißt "vorrangig" (es ist mir keine bessere Übersetzung für "to be prior to" eingefallen) T wenn [mm] YI_{{T=n}} \in \Phi_n [/mm] für alle n
Ist (1) eine Voraussetzung oder woraus kann man dies ableiten?
Wenn (1) vorausgesetzt wird, kann das folgendermaßen bewiesen werden:
[mm] E_1(Y;T<\infty)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}E_1(Y;T=n)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}E_0(Yl_n;T=n)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}E_0(Yl_T;T<\infty).
[/mm]
Ich bin für alle Tipps und Hinweise dankbar!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Di 11.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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