Serienschwingkreis-Anfangsbedi < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Do 04.02.2010 | | Autor: | Nickles |
| Aufgabe | Gegeben Serienschwingkreis mit der Spannungsquelle U, dem Widerstand R=20 , dem Kondensator der Kapazität [mm] C= [mm] \bruch{1}{1500} [/mm] F und einer Spule der Induktivität L=0,05H. Die Ladung Q des Kondensators im Schwingkreis gehorcht der Differentialgleichung [mm] L \ddot Q (t) + R \dot Q (t) + \bruch{1}{C} Q(t) = U(t) [/mm]
b) b) Berechnen Sie im Fall, dass keine Spannung anliegt
(U =0) die Ladung Q und den Strom [mm] I= \dot Q [/mm] im Schwingkreis
unter der Anfangsbedingung
[mm] Q(0)=4Cb\ \mathrm{I}(0)=200A [/mm] |
Hallo,
in a habe ich die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung [mm] Q_h (t) = C_1 * e^{-100t} +C_2 * e^{-300t} [/mm] hergeleitet.
Wie gehe ich denn aber nun hier vor?
Habe schon angefangen im Papula da was nachzuschlagen in Richtung von elektromagnetische Schwingung, Reihenschwingkreis.
Da komme ich zu dieser Formel
[mm] L \bruch{di}{dt} + R*i+ \bruch{1}{C} *q = 0 [/mm] irgendwie denke ich aber das ich hier auf dem Holzweg bin.
Ich glaube ich muss die vorher herausgefundene Formel irgendwie mit den Anfangswerten/Angfangsbestimmung verknüpfen oder?
Irgendwie fehlt mir hier jetzt der Anfang...
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Do 04.02.2010 | | Autor: | fencheltee |
> Gegeben Serienschwingkreis mit der Spannungsquelle U, dem
> Widerstand R=20 , dem Kondensator der Kapazität C= 1 1500
> F und einer Spule der Induktivität L=0:05H. Die Ladung Q
> des Kondensators im Schwingkreis gehorcht der
> Differentialgleichung [mm]L \ddot Q (t) + R \dot Q (t) + \bruch{1}{C} Q(t) = U(t)[/mm]
überprüf die gegebenen werte bitte nocheinmal!
>
> b) b) Berechnen Sie im Fall, dass keine Spannung anliegt
> (U =0) die Ladung Q und den Strom [mm]I= \dot Q[/mm] im
> Schwingkreis
> unter der Anfangsbedingung
>
> [mm]Q(0)=4Cb I(0)=200A[/mm]
> Hallo,
>
> in a habe ich die allgemeine Lösung der homogenen
> Gleichung [mm]Q_h (t) = C_1 * e^{-100t} +C_2 * e^{-300t}[/mm]
> hergeleitet.
>
> Wie gehe ich denn aber nun hier vor?
> Habe schon angefangen im Papula da was nachzuschlagen in
> Richtung von elektromagnetische Schwingung,
> Reihenschwingkreis.
> Da komme ich zu dieser Formel
> [mm]L \bruch{di}{dt} + R*i+ \bruch{1}{C} *q = 0[/mm] irgendwie
> denke ich aber das ich hier auf dem Holzweg bin.
> Ich glaube ich muss die vorher herausgefundene Formel
> irgendwie mit den Anfangswerten/Angfangsbestimmung
> verknüpfen oder?
>
> Irgendwie fehlt mir hier jetzt der Anfang...
>
>
> Grüße
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Do 04.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Habe die Angaben geändert..meintest du die Formfehler? Tut mir leid
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> Gegeben Serienschwingkreis mit der Spannungsquelle U, dem
> Widerstand R=20 , dem Kondensator der Kapazität [mm]C= [mm]\bruch
> {1}{1500}[/mm] F und einer Spule der Induktivität L=0,05H. Die Ladung
> Q des Kondensators im Schwingkreis gehorcht der Differentialgleichung > [mm]L \ddot Q (t) + R \dot Q (t) + \bruch{1}{C} Q(t) = U(t)[/mm]
> b) b) Berechnen Sie im Fall, dass keine Spannung anliegt
> (U =0) die Ladung Q und den Strom [mm]I= \dot Q[/mm] im Schwingkreis
> unter der Anfangsbedingung
> [mm]Q(0)=4Cb\ \mathrm{I}(0)=200A[/mm]
> Hallo,
hallo,
mit den nun oben richtig eingetippten werten kann man endlich nachvollziehen, dass deine Gleichung Q(t) richtig ist.
nun war als 1. anfangswert gegeben: Q(0)=4
dies setzt du quasi dann in dein Q(t) ein.
der entscheidende hinweis ist ja auch schon gegeben:
$ I= [mm] \dot [/mm] Q $
somit auch
$ I(t)= [mm] \dot [/mm] Q(t) $ was ja nun nur bedeutet, deine gleichung Q(t) einmal abzuleiten, und dann dort den anfangswert $ [mm] I(0)=\dot [/mm] Q(0)=200 $ einzusetzen, nun hast du 2 gleichungen mit 2 unbekannten!
> in a habe ich die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung [mm]Q_h > (t) = C_1 * e^{-100t} +C_2 * e^{-300t}[/mm] hergeleitet.
> Wie gehe ich denn aber nun hier vor?
> Habe schon angefangen im Papula da was nachzuschlagen in Richtung > von elektromagnetische Schwingung, Reihenschwingkreis.
> Da komme ich zu dieser Formel
> [mm]L \bruch{di}{dt} + R*i+ \bruch{1}{C} *q = 0[/mm] irgendwie
> denke ich aber das ich hier auf dem Holzweg bin.
> Ich glaube ich muss die vorher herausgefundene Formel irgendwie mit
> den Anfangswerten/Angfangsbestimmung verknüpfen oder?
> Irgendwie fehlt mir hier jetzt der Anfang...
> Grüße
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Do 04.02.2010 | | Autor: | Nickles |
So blöd es auch klingt aber: Wo hab ich denn da eine Gleichung für Q(t) ?
Ich habe ja [mm] L* \ddot Q (t) + R * \dot Q + \bruch{1}{C} Q(t) = U(t) \text{ ( da U = 0 ) }[/mm]
[mm] \rightarrow L* \ddot Q (t) + R * \dot Q + \bruch{1}{C} Q(t) =0 \text{ also könnte ich daraus } [/mm]
[mm] \rightarrow L* \ddot Q (t) + R * \dot Q = - \bruch{1}{C} Q(t) [/mm] machen.
Meintest du das?
Und hier noch die Werte Einsetzen, dann hätte ich
[mm] 1500 Q(t) = -0,05 \ddot Q (t) -20 \dot Q (t) [/mm] So?
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> So blöd es auch klingt aber: Wo hab ich denn da eine
> Gleichung für Q(t) ?
>
> Ich habe ja [mm]L* \ddot Q (t) + R * \dot Q + \bruch{1}{C} Q(t) = U(t) \text{ ( da U = 0 ) }[/mm]
>
> [mm]\rightarrow L* \ddot Q (t) + R * \dot Q + \bruch{1}{C} Q(t) =0 \text{ also könnte ich daraus }[/mm]
>
> [mm]\rightarrow L* \ddot Q (t) + R * \dot Q = - \bruch{1}{C} Q(t)[/mm]
> machen.
> Meintest du das?
> Und hier noch die Werte Einsetzen, dann hätte ich
>
> [mm]1500 Q(t) = -0,05 \ddot Q (t) -20 \dot Q (t)[/mm] So?
nein, oben das ist ja die differentialgleichung 2. ordnung mit konstanten koeffizienten, dessen _Lösung_ Q(t) du berechnet hast
[mm] $$Q(t)=k1\,{e}^{-100\,t}+k2\,{e}^{-300\,t}$$
[/mm]
und auf dieses Q(t) bezieht sich nun der 1. anfangswert. auf dessen ableitung dann der 2. anfangswert!
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Hallo,
habe nun die GLeichungssysteme mit
[mm] -100 * C_1 * e^{-100t} -300 * C_2 * e^{-300t} = 200 [/mm]
[mm] C_1 * e^{-100t} + C_2 * e^{-300t} = 4 [/mm] gelöst und herausbekommen
[mm] C_1 * e^{-100t} = 7 [/mm] und
[mm] C_2 * e^{-300t} = 4 [/mm]
bzw da es ja jeweils t=0 war $ [mm] C_1 [/mm] = 7 $ und $ [mm] C_2 [/mm] = 4 $
Was mach ich nun mit den Werten?
In
$ [mm] C_1 [/mm] * [mm] e^{-100t} [/mm] + [mm] C_2 [/mm] * [mm] e^{-300t} [/mm] = 4 $ einsetzen und nach t auflösen?
nach einsetzten hätte ich ja erstmal $ Q(t) = 4* [mm] e^{-100t} [/mm] + 7* [mm] e^{-300t} [/mm] $
Grüße danke bisher
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> Hallo,
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> habe nun die GLeichungssysteme mit
> [mm]-100 * C_1 * e^{-100t} -300 * C_2 * e^{-300t} = 200[/mm]
> [mm]C_1 * e^{-100t} + C_2 * e^{-300t} = 4[/mm]
> gelöst und herausbekommen
> [mm]C_1 * e^{-100t} = 7[/mm] und
> [mm]C_2 * e^{-300t} = 4[/mm]
anfangswert: Q(0)=4:
[mm] Q(0)=4=C_1 [/mm] * [mm] e^{-100*0} [/mm] + [mm] C_2 [/mm] * [mm] e^{-300*0}=C_1+C_2
[/mm]
dann 2. bedingung:
I(0)=200=-100 * [mm] C_1 [/mm] * [mm] e^{-100*0} [/mm] -300 * [mm] C_2 [/mm] * [mm] e^{-300*0}=-100*C_1-300*C_2
[/mm]
diese 2 gleichungen dann nun auflösen:
[mm] 4=C_1+C_2
[/mm]
[mm] 200=-100*C_1-300*C_2
[/mm]
>
> Was mach ich nun mit den Werten?
>
> In
>
> [mm]C_1 * e^{-100t} + C_2 * e^{-300t} = 4[/mm] einsetzen und nach t
> auflösen?
>
> Grüße danke bisher
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Naja, aufgelöst hab ich doch schon... [mm] $C_1 [/mm] = 7\ [mm] C_2 [/mm] = -3 $
Habe vorhin in meiner Antwort [mm] C_2 [/mm] leider mit 4 betitelt , Fehler von meiner Seite
Nur was fang ich jetzt damit an?
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> Naja, aufgelöst hab ich doch schon... [mm]C_1 = 7\ C_2 = -3[/mm]
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> Nur was fang ich jetzt damit an?
>
>
ja die werte sind richtig, aber im post war für mich irgendwie nicht ersichtlich, dass du sie gefunden hast (wobei ich grad auch erst gesehen hab, dass die im titel standen)
und für t hattest du scheinbar auch keine 0 eingesetzt?!
naja die koeffizienten setzt du jetzt nun in dein Q(t) ein und bekommst
[mm] $$Q(t)=7\,{e}^{-100\,t}-3\,{e}^{-300\,t}$$
[/mm]
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Ist dann wohl für die Ladung $ Q(t) = [mm] 7*e^{-100t} [/mm] -3 * [mm] e^{-300t} [/mm] $ und für den Strom $ I = [mm] \dot [/mm] Q\ [mm] \dot [/mm] Q (t) = [mm] -700*e^{-100t} [/mm] +900 * [mm] e^{-300t} [/mm] $
Danke nochmal für die Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Calli |
> Hallo,
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> habe nun die GLeichungssysteme mit
> [mm]-100 * C_1 * e^{-100t} -300 * C_2 * e^{-300t} = 200[/mm]
> [mm]C_1 * e^{-100t} + C_2 * e^{-300t} = 4[/mm]
> gelöst und herausbekommen
> [mm]C_1 * e^{-100t} = 7[/mm] und
> [mm]C_2 * e^{-300t} = 4[/mm]
>
> bzw da es ja jeweils t=0 war [mm]C_1 = 7[/mm] und [mm]C_2 = 4[/mm]
>
> Was mach ich nun mit den Werten?
>
> In
>
> [mm]C_1 * e^{-100t} + C_2 * e^{-300t} = 4[/mm] einsetzen und nach t
> auflösen?
>
> nach einsetzten hätte ich ja erstmal [mm]Q(t) = 4* e^{-100t} + 7* e^{-300t}[/mm]
>
> Grüße danke bisher
Hallo !
Physikalische Rechnungen ohne Einheiten sind sinnlos !
So lauten die Lösungen der charakteristischen Gl.: [mm] $\lambda_{1}=-100\; s^{-1}$ [/mm] und [mm] $\lambda_{2}=-300\; s^{-1}$,
[/mm]
falls die Angabe 'R = 20' [mm] $R=20\; \Omega$ [/mm] bedeuten soll.
Die aus den Anfangsbedingungen resultierenden Konstanten haben die Einheit [As=C].
Mit den gegebenen Anfangsbedingungen Q(t=0) = 4 As und I(t=0) = 200 A - wobei die letztere physikalischer Unsinn ist(dazu unten mehr) - ergeben sich die Konstanten zu:
[mm] $C_{1}=7\;As\; ,\quad C_{2}=-3\;As$ (C_2 [/mm] = 4 Schreibfehler ???)
Der Strom durch eine Induktivität kann nicht von Null auf einen endlichen Wert springen, ebenso wenig wie sich die Spannung an einer Kapazität nach einer Sprungfunktion ändert.
Das mechanische Analogon dazu wäre, wenn eine Masse in einer Zeitspanne [mm] \Delta\,T [/mm] = 0 vom Zustand der Ruhe auf eine endliche Geschwindigkeit beschleunigt würde. Das erfordert eine Beschleunigung von a = [mm] \infty [/mm] und damit eine unendlich große Kraft.![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
Die einzig physikalisch sinnvolle Randbedingung für den Strom ist hier also:
$I(t=0)=0$
Ciao Calli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Danke dir, aber zur Angabe kann ich leider au nix ändern ;) aber super erklärung!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ok, Nickles,
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
