Shift-Abbildung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Do 17.12.2009 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
ich hab grad ein Problem mit einer vermeintlich einfachen Definition.
Sei $T: [mm] \Omega^{\IN} \to \Omega^{\IN}$ [/mm] mit $ [mm] (x_1,x_2,...) \mapsto (x_2,x_3,...)$ [/mm] die sogenannte Shift Abbildung. Dabei ist [mm] $\Omega^{\IN}$ [/mm] der Pfadraum eines stochastischen Prozesses, was an der Stelle eher nebensächlich ist.
Nun seien $ [mm] A_1,A_2,...,A_n \in \mathcal{B}$, [/mm] also Elemente der Borel-Sigma-Algebra zu den [mm] $\Omega_i$.
[/mm]
Was ich nun nicht verstehe, ich lese in einem Buch, dass für das Urbild dieses T z.B. gilt:
[mm] $T^{-1}(A_1 \times... \times A_n \times \Omega \times \Omega \times...)$
[/mm]
$= [mm] \Omega \times A_1 \times...\times A_n \times \Omega \times [/mm] ...$
Das versteh ich gar nicht.
Was wäre denn etwa:
[mm] $T(A_1 \times... \times A_n \times \Omega \times \Omega \times...)$ [/mm] ?
Kann mir vielleicht einer auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank im Voraus,
Dester
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Do 17.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist
$ [mm] (x_1,x_2,...) \in T^{-1}(A_1 \times... \times A_n \times \Omega \times \Omega \times...) [/mm] $
[mm] \gdw
[/mm]
$T [mm] (x_1,x_2,...) \in A_1 \times... \times A_n \times \Omega \times \Omega \times...) [/mm] $
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $x_2 \in A_1, [/mm] ..., [mm] x_{n+1}\in A_n
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
$ [mm] (x_1,x_2,...) \in \Omega \times A_1 \times...\times A_n \times \Omega \times [/mm] ... $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Do 17.12.2009 | | Autor: | DesterX |
Danke Fred!
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