Siebformel: erste Summe unklar < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Hallo ich verstehe nicht wie man mit der Siebformel auf die entsprechenden Ergebnisse kommt. Ich mache einfach mal ein Beispiel. |
Zunächst die Formel:
[mm] P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}{(-1)^{i+1}} \summe_{1 \leq j_1 < \ldots < j_i \leq n\} [/mm] P( [mm] \bigcap_{k=1}^{i}{A_{jk}} [/mm] ).
Machen wir ein einfaches Beispiel für n=2 Wahrscheinlichkeiten:
Klar ist bereits dass [mm] P(A_1 \cup A_2) [/mm] = [mm] P(A_1 \cup (A_2 \backslash (A_1 \cap A_2))) [/mm] sein muss (Venn-Diagramm).
Mit der Formel würde ich nun aber wie folgt vorgehen:
[mm] P(A_1 \cup A_2) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{2}{(-1)^{i+1}} \summe_{1 \leq j_1 < j_2 \leq 2\} [/mm] P( [mm] \bigcap_{k=1}^{i}{A_{jk}} [/mm] ).
= 1 * [mm] \summe_{1 \leq j_1 < j_2 \leq 2\} [/mm] P( [mm] \bigcap_{k=1}^{1}{A_{jk}} [/mm] ) + (1+(-1))* [mm] \summe_{1 \leq j_1 < j_2 \leq 2\} [/mm] P( [mm] \bigcap_{k=1}^{2}{A_{jk}} [/mm] )
= [mm] \summe_{1 \leq j_1 < j_2 \leq 2\} [/mm] P( [mm] \bigcap_{k=1}^{1}{A_{jk}} [/mm] )
und jetzt?
Desweiteren ist mir auch nicht klar ob die rechte Summe Teil der Linken Summe ist. Bei Beispielen hatten wir irgendwie immer abwechselnd + bzw. - Zeichen vor den Wahrscheinlichkeiten der Schnitte... Mit der Summe links komme ich aber immer nur auf 0 bzw +1 als vorfaktor denn
[mm] \summe_{i=1}^{n}{(-1)^{i+1}} [/mm] = 1 -1 +1 -1 [mm] \ldots [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } i \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } i \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Do 28.05.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
für n=2 gilt ja, wie Du geschrieben hast
[mm] P(\bigcup_{i=1}^{2}A_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{2}{(-1)^{i+1}} \summe_{1 \leq j_1 < \ldots < j_i \leq 2}P( \bigcap_{k=1}^{i}{A_{j_k}} [/mm] ) also ausgeschrieben in die zwei Summanden
[mm] P(A_1\cup{A_2})=(-1)^2\summe_{1 \leq j_1 \leq 2}P( \bigcap_{k=1}^{1}{A_{j_k}} )+(-1)^3\summe_{1 \leq j_1 < j_2 \leq 2}P( \bigcap_{k=1}^{2}{A_{j_k}} [/mm] )
Beim ersten Summand kann [mm] j_1 [/mm] die Werte 1 oder 2 annehmen also wird der erste Summand
[mm] (-1)^2(P(A_1)+P(A_2))=P(A_1)+P(A_2)
[/mm]
Beim zweiten Summand kann nur die Kombination [mm] j_1=1 [/mm] und [mm] j_2=2 [/mm] auftreten, also wird der zweite Summand
[mm] (-1)^3P(A_1\cap{A_2})=-P(A_1\cap{A_2})
[/mm]
Zusammen also
[mm] P(A_1\cup{A_2})=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap{A_2})
[/mm]
mfg ullim
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