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| Aufgabe | Gib die [mm] \sigma [/mm] -Algebren [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] an, die von den gegebenen Mengensystemen A [mm] \subset \mathcal{P}(\Omega) [/mm] erzeugt werden.
1. [mm] \Omega [/mm] = {1,2,3,4}, [mm] \mathcal{A} [/mm] = {{1,2},{1,3}{1,4}}
2. [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IZ, \mathcal{A} [/mm] = {{-n,n} : n [mm] \in \IN}
[/mm]
3. [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR, \mathcal{A} [/mm] = {[k,k+2] : k [mm] \in [/mm] N}
4. [mm] \Omega [/mm] sei beliebige überabzählbare Menge, [mm] \mathcal{A} [/mm] = {{x} : x [mm] \in \Omega}
[/mm]
5. [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR, \mathcal{A} [/mm] = [mm] \mathcal{P}(\IQ)
[/mm]
6. Gib in der Menge [mm] \Omega [/mm] = {1,2,3,4} zwei [mm] \sigma-Algebren \Sigma_1,\Sigma_2 \subset \mathcal{P}(\Omega) [/mm] an, so dass [mm] \Sigma_1 \cup \Sigma_2 [/mm] keine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist. |
Hallo an alle,
zu 1. da würde ich sagen [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset, [/mm] {1,2} , {1,3} , {1,4}}
zu 2. [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset, [/mm] {-n,n}}
zu 3. 4. & 5. hab ich keine Ahnung
zu 6. [mm] \Sigma_1 [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset, [/mm] {1,2},{3,4},{1},{2,3,4}} [mm] \Sigma_2 [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset, [/mm] {1,3},{2,4},{2},{1,3,4}}
da {1} cup {2,4} = {1,2,4} liegt nicht in Vereinigung
stimmt das soweit und kann mir jemand zu 3-5 einen Tip geben?
schon mal vielen Dank
fg
Chrissi
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Hallo,
Um diese Aufgaben zu lösen, müssen dir die drei Eigenschaften einer Sigma-Algebra wohlbekannt sein!
Wie lauten diese?
> zu 1. da würde ich sagen [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset,
[/mm]
> {1,2} , {1,3} , {1,4}}
Nein.
Schau mal: Ist [mm] \mathcal{A} [/mm] eine Sigma-Algebra, dann gilt:
[mm] $(A_{n})_{n\in\IN}\in\mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}, \bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}\in\mathcal{A}$
[/mm]
D.h. alle abzählbaren Vereinigungen und Schnitte von Elementen aus [mm] \mathcal{A} [/mm] müssen in [mm] \mathcal{A} [/mm] sein (Ebenso natürlich die Komplemente, siehe Definition)
---- HINWEIS: Bei mir ist bis jetzt [mm] \mathcal{A} [/mm] eine Sigma-Algebra gewesen - bei euch wird das als Erzeugendensystem bezeichnet, das werde ich AB jetzt einhalten ----
Das [mm] \sigma(\mathcal{A}), [/mm] was du angegeben hast, ist im Grunde erstmal nur die "Grundbedingung", nämlich dass alle Elemente des Erzeugendensystems in der erzeugten Sigma-Algebra sein müssen, und eben noch Omega und die leere Menge. Du musst nun überlegen, was deswegen noch alles drin liegt!
Beispiel:
[mm] $\{1,2\},\{1,3\}\in\sigma(\mathcal{A}) \Rightarrow \{1,2\}\cap\{1,3\} [/mm] = [mm] \{1\}\in\sigma(\mathcal{A})$
[/mm]
Hinweis: Zeige, dass alle einelementigen Mengen mit Elementen aus [mm] \Omega, [/mm] also [mm] \{1\},\{2\},\{3\},\{4\} [/mm] in der Sigma-Algebra enthalten sind! Daraus folgt, dass die ganze Potenzmenge von Omega die Sigma-Algebra ist (warum?)
> zu 2. [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset, [/mm] {-n,n}}
Hier genauso überlegen wie bei a).
> zu 3. 4. & 5. hab ich keine Ahnung
Wieso nicht? Überlege dir zum Beispiel zu 3., wie die Schnitte von Elementen des Erzeugendensystems aussehen.
Was sind die "kleinsten" Mengen / Intervalle, die du erzeugen kannst?
Bei 4. solltest du dir überlegen, was für Elemente du mit abzählbaren Vereinigungen aus dem Erzeugendensystem bilden kannst. Das Ergebnis sieht womöglich so aus: [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] = [mm] \{A\subset\Omega|A\ abzaehlbar\ oder\ A^{c}\ abzaehlbar\}. [/mm] Wieso?
Auch zu 5.: Überlege dir, wie das gegebene Erzeugendensystem aussieht.
> zu 6. [mm] \Sigma_1 [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset,
[/mm]
> {1,2},{3,4},{1},{2,3,4}} [mm] \Sigma_2= [/mm] { [mm] \Sigma, \emptyset,
[/mm]
> {1,3},{2,4},{2},{1,3,4}}
> da {1} cup {2,4} = {1,2,4} liegt nicht in Vereinigung
Nein, deine angegebenen Sigma-Algebren sind keine.
Arbeite hiermit: Benutze zwei Sigma-Algebren der Form
[mm] $\sigma_{1} [/mm] = [mm] \{\emptyset,A,A^{c},\Omega\}, sigma_{2} [/mm] = [mm] \{\emptyset,B,B^{c},\Omega\}$,
[/mm]
(das sind welche!), und zeige, dass die Vereinigung der beiden keine Sigma-Algebra ist!
Zum Beispiel, indem du zeigst, dass die Vereinigung zweier Mengen nicht wieder enthalten ist.
Grüße,
Stefan
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Hallo
danke für die Antwort;
zu 6. wenn ich nun [mm] \SIgma_1 [/mm] = [mm] {\Omega, \emptyset, {1},{2},{3,4}}
[/mm]
und [mm] \Sigma_2 [/mm] = [mm] {\Omega, \emptyset, {1,2},{3},{4}} [/mm] wähle, wär ja von {1} [mm] \cup [/mm] {3} = {1,3}, was ja nicht in Vereinigung liegt;
kann ich des so machen, oder is da immer noch was falsch?
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Hallo,
> Hallo
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> danke für die Antwort;
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> zu 6. wenn ich nun [mm]\Sigma_1[/mm] = [mm] \{\Omega, \emptyset, \{1\},\{2\},\{3,4\}\}
[/mm]
>
> und [mm]\Sigma_2[/mm] = [mm]\{\Omega, \emptyset, \{1,2\},\{3\},\{4\}\}[/mm] wähle,
> wär ja von {1} [mm]\cup[/mm] {3} = {1,3}, was ja nicht in
> Vereinigung liegt;
>
> kann ich des so machen, oder is da immer noch was falsch?
Du hast meinen Hinweis immer noch nicht befolgt.
Deine angegebenen Mengensysteme sind keine [mm] \sigma- [/mm] Algebren. Bei der ersten müsste zum Beispiel wegen [mm] \{1\},\{2\}\in\Sigma_{1} [/mm] auch [mm] \{1\}\cup\{2\} [/mm] = [mm] \{1,2\}\in\Sigma_{1} [/mm] sein, ist es aber nicht.
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4\},
[/mm]
nun nimm A = [mm] \{1,2\}
[/mm]
und B = [mm] \{1,3\},
[/mm]
mach' dir klar dass [mm] $\sigma_{1} [/mm] = [mm] \{\emptyset, A, A^{c}, \Omega\}$ [/mm] und [mm] $\sigma_{2} [/mm] = [mm] \{\emptyset, B, B^{c}, \Omega\}$ [/mm] Sigma-Algebren sind, aber deren Vereinigung nicht.
Grüße,
Stefan
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