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| Aufgabe | Hallo, ich habe ein Problem damit, herauszufinden, wie genau eigentlich die von der Menge
[mm] $A_n:=\left\{\left\{1\right\},\left\{2\right\},\ldots,\left\{n\right\}\right\}$
[/mm]
erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] aussieht, wobei übrigens [mm] $\Omega=\mathbb{N}$ [/mm] die zugrunde liegende Menge sein soll. |
Also, wie gesagt, weiß ich nicht, wie ich bestimmen kann, wie diese Sigma-Algebra konkret aussieht.
Dass auf jeden Fall [mm] $A_n$ [/mm] selbst und die Grundmenge, also [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] in [mm] $\sigma(A_n)$ [/mm] enthalten sein müssen, ist mir klar. Jedoch nicht, welche Mengen noch in [mm] $\sigma(A_n)$ [/mm] enthalten sind.
Könnte das mir jemand erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mi 23.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sick_of_math!
> Hallo, ich habe ein Problem damit, herauszufinden, wie
> genau eigentlich die von der Menge
>
> [mm]A_n:=\left\{\left\{1\right\},\left\{2\right\},\ldots,\left\{n\right\}\right\}[/mm]
>
> erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra aussieht, wobei übrigens
> [mm]\Omega=\mathbb{N}[/mm] die zugrunde liegende Menge sein soll.
Wir haben also eine feste natürliche Zahl $n$ und suchen [mm] $\sigma(A_n)$.
[/mm]
> Also, wie gesagt, weiß ich nicht, wie ich bestimmen kann,
> wie diese Sigma-Algebra konkret aussieht.
>
> Dass auf jeden Fall [mm]A_n[/mm] selbst und die Grundmenge, also
> [mm]\mathbb{N}[/mm] in [mm]\sigma(A_n)[/mm] enthalten sein müssen, ist mir
> klar.
Das "enthalten sein", hat hier zwei verschiedene Bedeutungen:
Es gilt [mm] $A_n\subseteq \sigma(A_n)$ [/mm] und [mm] $\IN\in\sigma(A_n)$.
[/mm]
Es gilt nicht etwa [mm] $A_n\in\sigma(A_n)$ ($A_n$ [/mm] ist ja nicht einmal eine Teilmenge von [mm] $\Omega$).
[/mm]
> Jedoch nicht, welche Mengen noch in [mm]\sigma(A_n)[/mm]
> enthalten sind.
>
> Könnte das mir jemand erklären?
Wegen [mm] $A_n\subseteq \sigma(A_n)$ [/mm] gilt (neben [mm] $\IN\in\sigma(A_n)$) [/mm] schon einmal
[mm] $\{1\},\{2\},\{3\},\ldots,\{n\}\in\sigma(A_n)$.
[/mm]
Spiele nun einmal ein wenig mit endlichen Vereinigungen und Komplementen herum, um weitere Elemente von [mm] $\sigma(A_n)$ [/mm] zu finden.
Viele Grüße
Tobias
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Danke, dann waren meine Probleme mit dieser Aufgabe darin begründet, dass ich [mm] $A_n\in\sigma(A_n)$, [/mm] statt [mm] $\subset$ [/mm] benutzt habe.
Dann ist es mir nun klar, es ist
[mm] $\sigma(A_n)=\left\{B\subset\mathbb{N}| B\subset\left\{1,\ldots,n\right\}\mbox{ oder }B^C\subset\left\{1,\ldots,n\right\}\right\}$.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Mi 23.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Dann ist es mir nun klar, es ist
>
> [mm]\sigma(A_n)=\left\{B\subset\mathbb{N}| B\subset\left\{1,\ldots,n\right\}\mbox{ oder }B^C\subset\left\{1,\ldots,n\right\}\right\}[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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