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Sigma-Algebra (2): Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Di 25.10.2011
Autor: chesn

Aufgabe
Seien [mm] \Omega [/mm] und [mm] \Omega' [/mm] beliebige nichtleere Mengen. [mm] \mathcal{A}' [/mm] sei eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] über [mm] \Omega' [/mm] und [mm] T:\Omega\to\Omega'. [/mm]
Zeigen Sie: Das Mengensystem [mm] T^{-1}(\mathcal{A}'):=\{T^{-1}(A') | A' \in \mathcal{A}' \} [/mm] ist eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] über [mm] \Omega. [/mm]

Hallo!

Also, muss ich hier folgendes zeigen?

(i) [mm] \Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm]
(ii) [mm] T^{-1}(A') \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{T^{-1}(A')}=\Omega\backslash T^{-1}(A') \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm]
(iii) [mm] T^{-1}(A_{n}')_{n\in\IN} \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n}T^{-1}(A_{n}') \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm]

Oder liege ich da schon daneben?

Erstmal habe ich mir überlegt, dass [mm] T^{-1} [/mm] von [mm] \Omega' [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] abbildet. Heisst doch, es gibt eine Potenzmenge A von [mm] \Omega [/mm] mit  [mm] T^{-1}(\matcal{A}')=A [/mm] ... oder?

Sind erstmal nur überlegungen.. bin für jeden tipp dankbar!

Vielen Dank!

        
Bezug
Sigma-Algebra (2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Di 25.10.2011
Autor: fred97


> Seien [mm]\Omega[/mm] und [mm]\Omega'[/mm] beliebige nichtleere Mengen.
> [mm]\mathcal{A}'[/mm] sei eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\Omega'[/mm] und
> [mm]T:\Omega\to\Omega'.[/mm]
>  Zeigen Sie: Das Mengensystem
> [mm]T^{-1}(\mathcal{A}'):=\{T^{-1}(A') | A' \in \mathcal{A}' \}[/mm]
> ist eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\Omega.[/mm]
>  Hallo!
>
> Also, muss ich hier folgendes zeigen?
>  
> (i) [mm]\Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]

Ja


>  (ii) [mm]T^{-1}(A') \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{T^{-1}(A')}=\Omega\backslash T^{-1}(A') \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]

Ja, kürzer:

    $A [mm] \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{A} \in T^{-1}(\mathcal{A}')$ [/mm]

>  
> (iii) [mm]T^{-1}(A_{n}')_{n\in\IN} \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n}T^{-1}(A_{n}') \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]

Ich hab Dir heute schon mal was zu Deiner schlampigen Schreibweise gesagt!

Ist [mm] (A_n) [/mm] eine Folge in  [mm] T^{-1}(\mathcal{A}'), [/mm] so mußt Du zeigen: [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm]


>  
> Oder liege ich da schon daneben?
>  
> Erstmal habe ich mir überlegt, dass [mm]T^{-1}[/mm] von [mm]\Omega'[/mm] auf
> [mm]\Omega[/mm] abbildet.


Unfug ! Die Umkehrabbildung von T muß nicht existieren !!

Wie ist denn die Menge [mm] T^{-1}(A') [/mm] für A' [mm] \in \mathcal{A'} [/mm]  definiert ??


> Heisst doch, es gibt eine Potenzmenge A
> von [mm]\Omega[/mm] mit  [mm]T^{-1}(\matcal{A}')=A[/mm] ... oder?

Völliger Quatsch !

FRED

>
> Sind erstmal nur überlegungen.. bin für jeden tipp
> dankbar!
>  
> Vielen Dank!


Bezug
                
Bezug
Sigma-Algebra (2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Di 25.10.2011
Autor: chesn

Danke erstmal.. leider komme ich grad gar nicht weiter [mm] :\ [/mm]

was meinst du mit wie die Menge $ [mm] T^{-1}(A') [/mm] $ für A' $ [mm] \in \mathcal{A'} [/mm] $  definiert ist?

dazu habe ich nur: $ [mm] T^{-1}(\mathcal{A}'):=\{T^{-1}(A') | A' \in \mathcal{A}' \} [/mm] $

kannst du mir sagen wie ich auf [mm] \Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}) [/mm] komme?
ich glaube wenn ich das erstmal kapiert habe kriege ich auch den rest hin.

wäre nett.. dankeschön schonmal. :]

Bezug
                        
Bezug
Sigma-Algebra (2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Di 25.10.2011
Autor: fred97


> Danke erstmal.. leider komme ich grad gar nicht weiter [mm]:\[/mm]
>  
> was meinst du mit wie die Menge [mm]T^{-1}(A')[/mm] für A' [mm]\in \mathcal{A'}[/mm]
>  definiert ist?
>
> dazu habe ich nur: [mm]T^{-1}(\mathcal{A}'):=\{T^{-1}(A') | A' \in \mathcal{A}' \}[/mm]
>
> kannst du mir sagen wie ich auf [mm]\Omega \in T^{-1}(\mathcal{A})[/mm]
> komme?
>  ich glaube wenn ich das erstmal kapiert habe kriege ich
> auch den rest hin.
>  
> wäre nett.. dankeschön schonmal. :]

Allgemein: Ist $f:X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung , so ist für B [mm] \subset [/mm] Y:

            [mm] $f^{-1}(B):=\{x \in X: f(x) \in B\}$ [/mm]

Noch nie gesehen ?

Jetzt mach Dir klar:

              [mm] T^{-1}(\Omega')= \Omega. [/mm]

FRED


Bezug
                                
Bezug
Sigma-Algebra (2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:15 Mi 26.10.2011
Autor: chesn

Danke! Das konnte ich soweit nachvollziehen.

(i) [mm] \Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm] zu zeigen ist damit trivial.

(ii) zz: A [mm] \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{A} \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm]

Hierzu ziehe ich das [mm] \Omega [/mm] ran: [mm] \Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{\Omega}=\Omega\backslash\Omega=\emptyset \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm] - darf ich das so?

(iii) Durch vollständige Induktion: (damit habe ich noch probleme, aber versuchs mal..)

Behauptung: [mm] A_n [/mm] ist eine Folge in [mm] T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm]

Anfang für n=1: [mm] A_1 \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow\bigcup_{n=1}^{\infty}A_1=A_1 \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm]

Schritt: [mm] A_{n+1} \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n+1}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} \cup A_{n+1}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm]  Behauptung. [mm] \Box [/mm]

Bitte um Korrektur. :)

Danke schonmal!

Bezug
                                        
Bezug
Sigma-Algebra (2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Mi 26.10.2011
Autor: fred97


> Danke! Das konnte ich soweit nachvollziehen.
>
> (i) [mm]\Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm] zu zeigen ist damit
> trivial.

Glückwunsch !

>  
> (ii) zz: A [mm]\in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{A} \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
>  
> Hierzu ziehe ich das [mm]\Omega[/mm] ran: [mm]\Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{\Omega}=\Omega\backslash\Omega=\emptyset \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
> - darf ich das so?

Natürlich nicht !

Das

A [mm]\in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{A} \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]

sollst Du zeigen. Nicht mehr und nicht weniger.


>  
> (iii) Durch vollständige Induktion:

Nein. Induktion ist völliger Quatsch !


> (damit habe ich noch
> probleme, aber versuchs mal..)
>  
> Behauptung: [mm]A_n[/mm] ist eine Folge in [mm]T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
>  
> Anfang für n=1: [mm]A_1 \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow\bigcup_{n=1}^{\infty}A_1=A_1 \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
>  
> Schritt: [mm]A_{n+1} \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n+1}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} \cup A_{n+1}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]  Behauptung. [mm]\Box[/mm]
>  
> Bitte um Korrektur. :)

Bitte:

Sei $ [mm] A_n [/mm] $ ist eine Folge in $ [mm] T^{-1}(\mathcal{A}')$. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] (A_n') [/mm] in [mm] \mathcal{A'} [/mm] mit

             [mm] A_n=T^{-1}(A_n') [/mm]

Fragen an Dich:  

1. Was weißt Du über [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n' [/mm]  ?

2. Es gilt

               [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm]     blablablubber     [mm] T^{-1}(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n' [/mm] ).

Wie bei Günther Jauch:

blablablubber steht für ?

A: ist grüner als                      B:  ist größer als

C: =                                      D   ist die schönere Menge als

FRED


>  
> Danke schonmal!


Bezug
                                                
Bezug
Sigma-Algebra (2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Mi 26.10.2011
Autor: chesn

Danke für Deine schnelle Antwort!

Erstmal dazu:

$ A [mm] \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{A} \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm] $

Reicht es evtl. zu sagen, dass $ [mm] \Omega\backslash [/mm] A [mm] \subset \Omega [/mm] $ und wegen [mm] \Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm] folgt:

$ [mm] \Omega\backslash [/mm] A $ [mm] \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm]  ?

Danke!!





Bezug
                                                        
Bezug
Sigma-Algebra (2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Mi 26.10.2011
Autor: fred97

Mann, wieviel Steilvorlagen brauchst Du noch ?

Sei A [mm] \in T^{-1}(\mathcal{A'}). [/mm] Dann ex. ein A' [mm] \in \mathcal{A'} [/mm] mit

             [mm] A=T^{-1}(A'). [/mm]

Was weißt Du über [mm] \overline{A'} [/mm] ? und was weißt Du über blablablubber in

            [mm] \overline{A} [/mm]  blablablubber   [mm] T^{-1}(\overline{A'}). [/mm] ?

FRED

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