Sigma-Algebra der einpunktigen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 So 12.09.2004 | | Autor: | Andrea |
Folgende Aufgabe bekomme ich nicht korrekt gelöst. Vielleicht hat von euch einer eine Idee.
"Gegeben sei die Grundmenge [mm] \Omega [/mm] = [mm] IR[/mm]. Man bestimme die kleinste [mm]\sigma[/mm]-Algebra A über [mm]\Omega[/mm], die alle einpunktigen Mengen [mm]\left\{x\right\} \in \IR [/mm] enthält."
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 So 12.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi Andrea
wenn man dabei konstruktiv vorgehen will, muss [mm] $\Omega$ [/mm] alle ein-punkt mengen enthalten, wegen der [mm] $\sigma$-additivität [/mm] dann auch alle abzählbaren mengen. darüberhinaus - wegen der abgeschlossenheit bezüglich der komplementbildung auch alle mengen deren komplement abzählbar ist. und das war es dann glaube ich auch schon.
also müsste [mm] $\Omega$ [/mm] in etwa so aussehen:
[m] \Omega := \{ A \subset \mathbb{R}: A \text{ ist höchstens abzählbar oder } \mathbb{R} \setminus A \text{ ist höchstens abzählbar} \} [/m]
wobei "höchstens abzählbar" abzählbar unendlich oder endlich heißt (insbesondere ist auch die leere menge [mm] $\emptyset$ [/mm] endlich).
um zu zeigen, dass es sich dabei um eine [mm] $\sigma$-algebra [/mm] handelt muss du nur die (3 ?) axiome nachprüfen, was meiner meinueng nach mit dem wissen, dass die abzählbare vereinigung abzählbarer mengen wieder eine abzählbare menge ist nicht so schwer sein sollte.
dass [mm] $\Omega$ [/mm] die kleinste [mm] $\sigma$-algebra [/mm] ist, die alle ein-punkt mengen enthält ist nach konstruktion klar.
schau mal, ob du damit schon mit der aufgabe fertig wirst, sonst frage einfach nochmal nach.
grüße
andreas
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