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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mi 18.10.2006 | | Autor: | HomerJ |
| Aufgabe | Sei und betrachten Sie die folgenden Mengensysteme:
wobei für das Komplement von A steht, Runde Klammern für offenes Intervall.
Bei welchen dieser Mengensysteme handelt es sich um eine Sigma-Algebra? Sind sie der Meinung, dass eine Sigma-Algebra ist, dann weisen Sie nach, die es deren drei Eigenschaften erfüllt. Zeigen Sie ansonsten, dass mindestens eine dieser Eigenschaften nicht erfüllt ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Also ich weiss, dass man bei der Sigma-Algebra prüfen muss:
muss in der Sigma-Algebra drin sein,
alle Komplemente müssen in der Sigma-Algebra drin sein,
und die Vereinigung aller in der Sigma-Algebra enthaltenen Teilmengen muss ebenfalls wieder in der Sigma-Algebra drin sein.
Problem bei : Die Lösung wäre ja trivial, wenn "alle Teilmengen von " nicht die leere Menge enthalten würde. Dann wäre natürlich keine Sigma-Algebra sein. Glaube aber nicht, dass es so trivial ist.
Im Prinzip ist ja die Potenzmenge der reellen Zahlen. Ich weiss, dass zumindest bei Grundmengen die ENDLICH viele Elemente haben, die Potenzmenge definitiv eine Sigma-Algebra darstellt. Weiss aber nicht, wie es bei abzählbaren Mengen bzw. (wie hier überabzählbaren) Mengen aussieht: ist da eine Potenzmenge definiert? Und falls: gibt es da irgendwelche Probleme mit der Überabzählbarkeit? (z.B.: wenn man zeigen soll, dass abzählbar viele Teilmengen vereinigt wieder in der Sigma-Algebra liegen sollen - gibt es da Probleme, weil man aus der Potenzmenge der reellen Zahlen ja auch überabzählbar viele Teilmengen rausholen kann?).
Angenommen, es gibt keine Probleme mit Überabzählbarkeit: Wie zeigt man dann formal, dass eine Sigma-Algebra ist?
Problem mit Problem bei : In dieser Menge sind definitiv alle offenen Intervalle der reellen Zahlen drin (und deren jeweiligen Komplemente). Frage 1: zwar ist nicht angenommen, trotzdem sind einzelne reelle Zahlen nicht in , da für a = b im OFFENEN Intervall nichts drin sein kann -> somit ist aber die leere Menge enthalten?. Frage 2: Enthält (die Menge der reellen Zahlen?) falls nein, wäre das Problem ja wieder trivial, was ich aber nicht glaube. Also würde ich sagen, dass auch hier eine Sigma-Algebra vorliegt, nur: wie zeigt man das formal?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mi 18.10.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo! (Hast du auch einen Namen? :) )
> Also ich weiss, dass man bei der Sigma-Algebra prüfen muss:
> $ [mm] \Omega [/mm] $ muss in der Sigma-Algebra drin sein,
> alle Komplemente müssen in der Sigma-Algebra drin sein,
> und die Vereinigung aller in der Sigma-Algebra enthaltenen Teilmengen muss ebenfalls wieder in der Sigma-Algebra drin sein.
> Problem bei $ [mm] \mathcal{A}_1 [/mm] $: Die Lösung wäre ja trivial, wenn "alle Teilmengen von $ [mm] \Omega [/mm] $" nicht die leere Menge enthalten würde. Dann > wäre $ [mm] \mathcal{A}_1 [/mm] $ natürlich keine Sigma-Algebra sein. Glaube aber > nicht, dass es so trivial ist.
[mm] ${\cal A}_1$ [/mm] ist die Menge aller Teilmengen von [mm] $\Omega$. [/mm] Zu diesen zählen insbesondere auch die leere Menge [mm] $\emptyset$ [/mm] und die Menge [mm] $\Omega$ [/mm] selbst. Eine Teilmenge, die von beiden letztgenannten Mengen verschieden ist, nennt man auch eine echte Teilmenge. Ohne dieses Attribut aber sind auch die leere und die gesamte Menge als Teilmenge zu verstehen und liegen daher in diesem Falle inbesondere in [mm] ${\cal A}_1$.
[/mm]
Du hast die Forderungen an eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ja selbst genannt. Es sind eine Reihe von Implikationen der Form [mm] $r\Rightarrow A\in{\cal A}_1$, [/mm] wobei $r$ irgendeine Aussage und $A$ eine Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] ist. Jede solche Implikation allerdings ist trivialerweise richtig, da ja jede (!) Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] per Definition in [mm] ${\cal A}_1$ [/mm] liegt. Daher ist also [mm] ${\cal A}_1$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] - neben [mm] $\{\emptyset,\Omega\}$ [/mm] eine der beiden "trivialen" [mm] $\sigma$-Algebren.
[/mm]
> Im Prinzip ist $ [mm] \mathcal{A}_1 [/mm] $ ja die Potenzmenge der reellen Zahlen. > Ich weiss, dass zumindest bei Grundmengen $ [mm] \Omega [/mm] $ die ENDLICH viele Elemente haben, die Potenzmenge definitiv eine Sigma-Algebra darstellt. Weiss aber nicht, wie es bei abzählbaren Mengen bzw. (wie hier überabzählbaren) Mengen aussieht: ist da eine Potenzmenge definiert? Und falls: gibt es da irgendwelche Probleme mit der Überabzählbarkeit? (z.B.: wenn man zeigen soll, dass abzählbar viele Teilmengen vereinigt wieder in der Sigma-Algebra liegen sollen - gibt es da Probleme, weil man aus der Potenzmenge der reellen Zahlen ja auch überabzählbar viele Teilmengen rausholen kann?).
Die Mächtigkeit der zu Grunde liegenden Menge spielt keine Rolle. Ob sie nun endlich, abzählbar oder noch mächtiger ist, ist irrelevant. Die Potenzmenge ist immer definiert und zwar als Menge aller Teilmengen der gegebenen Menge.
> Problem mit Problem bei $ [mm] \mathcal{A}_2 [/mm] $: In dieser Menge sind definitiv alle offenen Intervalle der reellen Zahlen drin (und deren jeweiligen Komplemente). Frage 1: zwar ist nicht $ a [mm] \ne [/mm] b $ angenommen, trotzdem sind einzelne reelle Zahlen nicht in $ [mm] \mathcal{A}_2 [/mm] $, da für a = b im OFFENEN Intervall nichts drin sein kann -> somit ist aber die leere Menge enthalten?.
Das ist richtig. Wegen [mm] $(a,a)=\emptyset$ [/mm] ist [mm] $\emptyset\in {\cal A}_2$. [/mm] Wenn dem nicht so wäre, könnte [mm] ${\cal A}_2$ [/mm] schon keine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] sein, da eine solche stets [mm] $\emptyset$ [/mm] und die Menge selbst enthalten muss.
Nun musst du weiter prüfen. Liegt der Schnitt von Elementen in [mm] ${\cal A}_2$ [/mm] wieder in [mm] ${\cal A}_2$? [/mm] Wie sieht es mit der Vereinigung aus?
Liebe Grüße,
Hanno
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Do 19.10.2006 | | Autor: | HomerJ |
Hi Hanno, erst mal vielen Dank für Deine Antwort, hat mir gut weitergeholfen. Stimmt meine folgende Lösung?
Bezüglich Implikationen richtig?
, falls die Potenzmenge von ist.
Für die Potenzmenge gilt für jede beliebige Teilmenge A:
, also
und ebenso mit
,
also: , womit eine Sigma-Algebra ist.
OK?
Problem aber noch mit : Schließlich hier festgestellt, dass nur Zahlenintervalle enthält, nicht aber einzelne reelle Zahlen. Somit enthält aber nicht die Menge der reellen Zahlen, also nicht Omega. Und somit dürfte keine Sigma-Algebra sein.
Auf der anderen Seite: Schnitt beliebiger Teilmengen liegen hier definitiv drin. Ein Problem sehe ich hier allerdings: Vereinigt man zwei disjunkte Intervalle, wäre das Komplement eine Vereinigung aus drei (nicht aneinanderliegenden) Intervallen. Solche liegen aber nicht in . Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Do 19.10.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> OK?
Ja. Obgleich ich hoffe, dass dir die Aussage auch ohne jegliche Formalität klar ist - denn sie ist wirklich trivial (und dieses Wort benutze ich nicht häufig).
> Problem aber noch mit $ [mm] \mathcal{A}_2 [/mm] $: Schließlich hier festgestellt, dass $ [mm] \mathcal{A}_2 [/mm] $ nur Zahlenintervalle enthält, nicht aber einzelne reelle Zahlen. Somit enthält $ [mm] \mathcal{A}_2 [/mm] $ aber nicht die Menge der reellen Zahlen, also nicht Omega. Und somit dürfte $ [mm] \mathcal{A}_2 [/mm] $ keine Sigma-Algebra sein.
Ja, das ist ein gültiges Argument. Aber auch, wenn wir nicht forderten, dass [mm] ${\cal A}_1$ [/mm] eine Algebra ist, sondern vielleicht nur ein Ring, kämen wir nicht weiter, denn:
> Auf der anderen Seite: Schnitt beliebiger Teilmengen liegen hier definitiv drin. Ein Problem sehe ich hier allerdings: Vereinigt man zwei disjunkte Intervalle, wäre das Komplement eine Vereinigung aus drei (nicht aneinanderliegenden) Intervallen. Solche liegen aber nicht in $ [mm] \mathcal{A}_2 [/mm] $. Richtig?
Die Begründung konnte ich nicht nachvollziehen, die Idee scheint aber die richtige zu sein: wenn du zwei disjunkte Intervalle vereinigst, ist die resultierende Menge selbst kein Intervall mehr. Daher kann [mm] ${\cal A}_2$ [/mm] kein Ring sein und insbesondere keine [mm] ($\sigma$-)Algebra [/mm] sein, da eine solche bzgl. der Bildung von Vereinigungen abgeschlossen sein muss.
Liebe Grüße,
Hanno
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