Sigma-Algebra von ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Turis |
Hallo Matheraum!
Ich wiederhole momentan den Stoff aus WT1 und habe dabei den Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable gefunden.
Es geht mir speziell um die Beispiel-Zufallsvariablen unter "Definition".
(Zweimaliges Würfeln mit 6-seitigem Würfel)
[mm] X_{i}: [/mm] Omega [mm] \to \IR [/mm] , i=1,2
mit [mm] X_{1}(n_{1},n_{2})=n_{1}
[/mm]
und [mm] X_{2}(n_{1},n_{2})=n_{2}
[/mm]
Weiter unten wird gesagt, dass diese ZV unabhängig sind. Anschaulich ist mir das klar, aber ich möchte es gerne mathematisch korrekt zeigen.
Laut Vorlesung habe ich also zu zeigen, dass die sigma-Algebren von [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] unabhängig sind, also dass P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A)P(B) ist für entsprechend alle A (bzw B) aus der sigma-Algebra von [mm] X_{1} [/mm] (bzw [mm] X_{2}).
[/mm]
Diese beiden Sigma-Algebren müssten doch beide einfach die Potenzmenge von Omega, also [mm] \mathcal{P}({1,...,6}) [/mm] sein, oder?
Ich weiß dass P(A)=|A|*1/36 ist (laut Aufgabenstellung) und ebenso auch P(B)=|B|*1/36, also müsste ich wohl zeigen dass P(A [mm] \cap B)=|A||B|*1/36^{2} [/mm] ist.
Hier komme ich nicht weiter, weil ich nicht sehe wie ich [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] einbringen könnte und das muss doch irgendwie passieren, weil ich ja konkret auf deren Unabhängigkeit eingehen will. Allein die Potenzmengen zu betrachten wäre doch viel zu allgemein.
Vielen Dank für jeden Rat!
PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
Hiho,
> [mm]X_{i}:[/mm] Omega [mm]\to \IR[/mm] , i=1,2
> mit [mm]X_{1}(n_{1},n_{2})=n_{1}[/mm]
> und [mm]X_{2}(n_{1},n_{2})=n_{2}[/mm]
> Laut Vorlesung habe ich also zu zeigen, dass die
> sigma-Algebren von [mm]X_{1}[/mm] und [mm]X_{2}[/mm] unabhängig sind, also
> dass P(A [mm]\cap[/mm] B)=P(A)P(B) ist für entsprechend alle A (bzw
> B) aus der sigma-Algebra von [mm]X_{1}[/mm] (bzw [mm]X_{2}).[/mm]
>
Jop.
> Diese beiden Sigma-Algebren müssten doch beide einfach die
> Potenzmenge von Omega, also [mm]\mathcal{P}({1,...,6})[/mm] sein,
> oder?
Nein, denn beide ZVs bilden ja ab von [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,...,6\}^2 [/mm] = [mm] \{(1,1),...,(6,6)\} \rightarrow \IR$
[/mm]
Es ist also beidemale die Potenzmenge auf [mm] $\{1,...,6\}^2$
[/mm]
Erstmal reicht es die Erzeuger der entsprechenden [mm] \sigma-Algebra [/mm] zu betrachten (warum), d.h wir können uns hier auf die einelementigen Teilmengen von [mm] $\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] beschränken.
Die haben nun gerade die Form [mm] $(n_1,n_2), n_i [/mm] = [mm] \{1,...,6\}$
[/mm]
Nun ist $P(A) = [mm] P(X_1(n_1,n_2) [/mm] = [mm] n_1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}$
[/mm]
und $P(B) = [mm] P(X_2(n_1,n_2) [/mm] = [mm] n_2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}$
[/mm]
sowie P(A [mm] \cap [/mm] B) = [mm] P(X_1(n_1,n_2) [/mm] = [mm] n_1 \wedge X_2(n_1,n_2) [/mm] = [mm] n_2) [/mm] = [mm] P((n_1,n_2)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{36}
[/mm]
Damit sind [mm] X_1, X_2 [/mm] unabhängig.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 04:44 So 13.12.2009 | | Autor: | Turis |
Hallo und Danke!
Zum Verständnis:
Wenn ich mir noch die Summe [mm] n_{1}+n_{2} [/mm] als Zufallsvarible S anschaue, so wäre diese ja abhängig von z.B. [mm] X_{1}.
[/mm]
Wäre dann entsprechend
[mm] P(A)=P({(n_{1},n_{2}): S(n_{1},n_{2})=n_{1}+n_{2}}) [/mm] nicht so konkret anzugeben wie bei [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2}, [/mm] weil man hier das Problem hat dass z.b.
S(1,2)=3 und S(2,1)=3 bzw.
S(1,3)=S(2,2)=S(3,1)=4 ?
Ich würde dann sagen dass z.B.
[mm] P(X_{1}=4)*P(S=4)=1/6*1/12=1/72
[/mm]
aber
[mm] P({(n_{1},n_{2}): X_{1}(n_{1},n_{2})=4 \wedge S(n_{1},n_{2})=n_{1}+n_{2}}) [/mm] = [mm] P({(4,n_{2}): S(4,n_{2})=4+n_{2}})=1/6
[/mm]
und da 1/6 ungleich 1/72 ist die Abhängigkeit gezeigt.
So okay?
Wäre es eigentlich auch in Ordnung wenn ich [mm] P(X_{1}=4) [/mm] und P(S=5), also unterschiedliche Ergebnisse, betrachtet hätte? So auf den ersten Blick fällt mir kein Grund ein warum ich das nicht dürfte.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Do 17.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
