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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Fr 22.10.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Sei X eine Menge und R die Menge aller endlichen Teilmengen von X.
Für welche Mengen X ist R eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra in X? |
Hallo,
man erkennt hier sofort dass R = [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] die Potenzmenge von X ist.
Unsere Definition einer [mm] \sigma [/mm] Algebra:
[mm] \mathcal{A} [/mm] ist [mm] \sigma-Algebra [/mm] in X, wenn gilt
(1) [mm] \mathcal{A} [/mm] ist ein Ring
(2) X [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
(3) Die Vereinigung alle Teilmengen von [mm] \mathcal{A} [/mm] ist in [mm] \mathcal{A} [/mm] enthalten.
Also:
(1) => Die Potenzmenge ist ein Ring ( haben wir bereits gezeigt )
(2) => Jede Menge X ist in ihrer Potenzmenge enhalten
(3) => Die Vereinigung aller Mengen von [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] ist X
und X ist nach (2) in [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] enthalten.
Damit wäre die Antwort: Für alle Mengen X.
Ist diese Argumentation so in Ordnung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Sei X eine Menge und R die Menge aller endlichen Teilmengen
> von X.
> Für welche Mengen X ist R eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra in X?
>
> Hallo,
>
> man erkennt hier sofort dass R = [mm]\mathcal{P}(X)[/mm] die
> Potenzmenge von X ist.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Für [mm] $X=\IQ$ [/mm] ist [mm] $R\not=\mathcal{P}(X)$.
[/mm]
Das liegt einfach daran, dass in R nur endliche Teilmengen liegen, in der Potenzmenge von [mm] $\IQ$ [/mm] aber auch nicht-endliche (z.B. [mm] $\IQ$ [/mm] selbst).
> Ist diese Argumentation so in Ordnung?
Nee, leider nicht...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Fr 22.10.2010 | | Autor: | etoxxl |
Danke, das macht natürlich Sinn.
Es gilt also folgendes: R [mm] \subseteq \mathcal{P}(X)
[/mm]
R ist hier also nicht eine Potenzmenge, aber ein Ring.
Somit gilt für die 3 Forderungen:
(1) [mm] \mathcal{A} [/mm] ist ein Ring
-> R ist ein Ring
(2) X [mm] \in \mathcal{A} [/mm]
-> X [mm] \in [/mm] R : gilt nur falls X endlich ist
(3) Die Vereinigung alle Teilmengen von [mm] \mathcal{A} [/mm] ist in [mm] \mathcal{A} [/mm] enthalten.
-> Die Vereinigung aller endlichen Elemente eines Ringes ist im Ring enthalten.
Es folgt also, dass es nur die Einschränkung von (2) gibt, dass X eine endliche Menge sein muss.
Ist diese Argumentation besser?
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Huhu,
deine Argumentation ist etwas sinnlos, denn du beschreibst nun R.
R selbst ist aber gegeben. D.h. es gilt:
R = Menge aller endlichen Teilmengen von X und [mm] $\sigma$-Algebra
[/mm]
Du sollst nun angeben, was daraus sofort für X folgt!
Wie du siehst, muss es etwas sein, was [mm] \IQ [/mm] nicht erfüllt, da R offensichtlich keine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, wenn [mm] $X=\IQ$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Fr 22.10.2010 | | Autor: | etoxxl |
Ich folgere daraus, dass X eine endliche Menge seine muss, also dass
X keine abzählbar unendliche und auch keine überabzählbar unendliche Menge sein darf. Somit ist ausgeschlossen dass [mm] X=\IN,\IZ,\IQ,\IR
[/mm]
Aber das habe ich ja vorhin auch schon geschrieben,
wo ist mein Gedankenfehler?
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Huhu,
> wo ist mein Gedankenfehler?
du hast keinen.
Den kleinen Satz hat ich einfach überlesen.
MFG,
Gono
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich folgere daraus, dass X eine endliche Menge seine muss,
> also dass
> X keine abzählbar unendliche und auch keine
> überabzählbar unendliche Menge sein darf. Somit ist
> ausgeschlossen dass [mm]X=\IN,\IZ,\IQ,\IR[/mm]
>
> Aber das habe ich ja vorhin auch schon geschrieben,
> wo ist mein Gedankenfehler?
Das stimmte soweit (siehe Gonos Antwort).
$X$ muss also notwendig endlich sein, damit $R$ eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist.
Es bleibt aber noch die Frage, ob dies auch eine hinreichende Bedingung ist, ob also $R$ immer eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, wenn $X$ endlich ist.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Sa 23.10.2010 | | Autor: | etoxxl |
Hallo Marc,
danke für die interessante Frage!
Da X endlich ist, hat es auch eine endliche Anzahl endlicher Mengen.
Da R die Menge aller endlichen Mengen ist, ist R = [mm] \mathcal{P}(X)
[/mm]
Und es ist bereits bewiesen, dass [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] immer eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf X ist.
Also ist R immer eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra, wenn X endlich ist.
Schöne Grüße,
etoxxl
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
, exakt.
