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Sigma Algebra: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Mo 26.01.2015
Autor: AragornII

Aufgabe
Sei $ [mm] \Omega [/mm] $  = $ {a,b,c,d,e} $

a) Bestimmen Sie die von {{a,b},{c,d}} erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] A, also

[mm] A:=\sigma [/mm] $  ({{a,b},{c,d}}). $

b) Geben Sie alle reellen Zufallsvariablen auf [mm] (\Omega,A) [/mm] an.

Mahlzeit,

Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst.

Lösung:

[mm] \sigma(A) [/mm] = [mm] \left\{ \emptyset \right\},\left\{ \Omega \right\},\left\{ a,b \right\},\left\{ c,d,e\right\},\left\{ c,d \right\},\left\{ a,b,e \right\},\left\{ e \right\},\left\{a,b,c,d \right\} [/mm]

ich hoffe, dass es richtig ist.

zu b) fällt mir kein Ansatz an. Ich habe es zwar auf Wiki durchgelesen also die Reelle Zufallsvariable, aber es hat mir nicht weitergeholfen.


MfG

AragornII



        
Bezug
Sigma Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Mo 26.01.2015
Autor: luis52


> Sei [mm]\Omega[/mm]  = [mm]{a,b,c,d,e}[/mm]
>  
> a) Bestimmen Sie die von {{a,b},{c,d}} erzeugte
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] A, also
>  
> [mm]A:=\sigma[/mm]  [mm]({{a,b},{c,d}}).[/mm]
>  
> b) Geben Sie alle reellen Zufallsvariablen auf [mm](\Omega,A)[/mm]
> an.
>  Mahlzeit,
>  
> Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst.
>  
> Lösung:
>  
> [mm]\sigma(A)[/mm] = [mm]\left\{ \emptyset \right\},\left\{ \Omega \right\},\left\{ a,b \right\},\left\{ c,d,e\right\},\left\{ c,d \right\},\left\{ a,b,e \right\},\left\{ e \right\},\left\{a,b,c,d \right\}[/mm]

Moin, das musst du m.E. sauberer aufschreiben. Ist bei dir [mm] $\{\emptyset\}\in [/mm] A$? Dann ist es falsch. Schreibe es so auf, dass auch [mm] $\emptyset\in [/mm] A$.


>  
> ich hoffe, dass es richtig ist.
>  
> zu b) fällt mir kein Ansatz an. Ich habe es zwar auf Wiki
> durchgelesen also die Reelle Zufallsvariable, aber es hat
> mir nicht weitergeholfen.

Bin kein Maßmensch, aber [mm] $(\Omega,A)$ [/mm] ist ein *Mess*raum. Zur Defintion einer Zufallsvariablen benoetigt man aber m.W. einen *Maß*raum [mm] $(\Omega,A,P)$ [/mm] mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß [mm] $P:A\to[0,1]$. [/mm] Insofern erscheint mir die Fragestellung unvollstaendig.



Bezug
                
Bezug
Sigma Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 Mo 26.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hallo luis,

> Zur Defintion einer Zufallsvariablen benoetigt man aber m.W. einen *Maß*raum [mm](\Omega,A,P)[/mm] mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß [mm]P:A\to[0,1][/mm]

Nein, benötigt man nicht. Die Eigenschaft einer Zufallsvariablen hängt ja in keiner Weise vom Maß P sondern nur von den beteiligten Sigma-Algebren ab.
Meßbarkeitseigenschaften ändern sich, glücklicherweise, unter einem Maßwechsel nicht.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Sigma Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Mo 26.01.2015
Autor: fred97


> Sei [mm]\Omega[/mm]  = [mm]{a,b,c,d,e}[/mm]
>  
> a) Bestimmen Sie die von {{a,b},{c,d}} erzeugte
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] A, also
>  
> [mm]A:=\sigma[/mm]  [mm]({{a,b},{c,d}}).[/mm]
>  
> b) Geben Sie alle reellen Zufallsvariablen auf [mm](\Omega,A)[/mm]
> an.
>  Mahlzeit,
>  
> Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst.
>  
> Lösung:
>  
> [mm]\sigma(A)[/mm] = [mm]\left\{ \emptyset \right\},\left\{ \Omega \right\},\left\{ a,b \right\},\left\{ c,d,e\right\},\left\{ c,d \right\},\left\{ a,b,e \right\},\left\{ e \right\},\left\{a,b,c,d \right\}[/mm]
>  
> ich hoffe, dass es richtig ist.
>  
> zu b) fällt mir kein Ansatz an. Ich habe es zwar auf Wiki
> durchgelesen also die Reelle Zufallsvariable, aber es hat
> mir nicht weitergeholfen.

zu b): In [mm] \IR [/mm] sei die Borelsche [mm] \sigma [/mm] - Algebra B gegeben.

Du sollst alle Abbildungen X: [mm] \Omega \to \IR [/mm] bestimmen, die A -B - messbar sind.

Dabei heißt eine Abbildung $X: [mm] \Omega \to \IR$ [/mm]   A -B - messbar, wenn für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt:


       $ [mm] \lbrace \omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq [/mm] x [mm] \rbrace \in [/mm] A$

FRED

>  
>
> MfG
>  
> AragornII
>  
>  


Bezug
        
Bezug
Sigma Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Mo 26.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo AragornII!


> [mm]\sigma(A)[/mm] = [mm]\left\{ \emptyset \right\},\left\{ \Omega \right\},\left\{ a,b \right\},\left\{ c,d,e\right\},\left\{ c,d \right\},\left\{ a,b,e \right\},\left\{ e \right\},\left\{a,b,c,d \right\}[/mm]

1. Es fehlen auf beiden Seiten Klammern.

2. [mm] \{M\}\not=M [/mm] (Siehe Luis Antwort).

3. Der Ausdruck [mm] \sigma(A) [/mm] ist richtig, aber könnte zu einem
   Punktabzug führen. Sei

         [mm] X:=\{\{a,b\},\{c,d\}\} [/mm]

   ein Mengensystem über [mm] \Omega. [/mm] Mit [mm] \sigma(X) [/mm] bezeichnen wir die
   von [mm] $X\$ [/mm] erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] \Omega [/mm] und setzen

         [mm] $A:=\sigma(X)\quad(=\sigma(\{\{a,b\},\{c,d\}\}))$. [/mm]
  
   Eigentlich ist nach der Angabe von [mm] $A\$ [/mm] und nicht von [mm] \sigma(A) [/mm]
   gefragt, aber wegen der Idempotenz des [mm] $\sigma$-Operators [/mm] ist

         [mm] \sigma(A)=\sigma(\sigma(X))=\sigma(X)=A, [/mm]

   so dass eigentlich alles in Ordnung ist.


Gruß
DieAcht

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