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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:01 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal A [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf [mm] \mathbb R [/mm] mit der Eigenschaft [mm] \left[ a,b ) \in \mathcal A [/mm] für alle [mm] a,b \in \mathbb R [/mm] . Sei [mm] \mu : \mathcal A \rightarrow \left[0, \infty \right] [/mm] ein Maß mit der Eigenschaft [mm] \mu (\left[a,b)) = b-a [/mm] . Zeigen Sie:
(i) Für beliebige [mm] a,b \in \mathbb R [/mm] gilt [mm] \left[a,b\right] \in \mathcal A, \left( a,b \right] \in \mathcal A [/mm] und [mm] (a,b) \in \mathcal A . [/mm]
(ii) Es gilt
[mm] \mu (\left[a,b\right]) = \mu ( \left(a,b \right]) = \mu ((a,b)) = \mu (\left[a,b)). [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Zu dem Aufgabenteil (i) habe ich folgende Frage, und hoffe, dass mir da jemand helfen kann:
Also nach unserer Vorlesung lautet die Definition der [mm] \sigma [/mm] - Algebra folgendermaßen:
Sei X eine Menge und [mm] \mathcal A \subseteq \mathcal P (X) [/mm].
Dann heißt [mm] \mathcal A [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra in X , wenn gilt:
(1) [mm] \varnothing \in \mathcal A [/mm]
(2) Ist [mm] A \in \mathcal A [/mm], so ist [mm] X \diagdown A \in \mathcal A [/mm]
(3) [mm] A_1 , A_2, ... , \in \mathcal A \Rightarrow \bigcup_{ m=1}^ \infty A_m \in \mathcal A [/mm].
Da ich bereits aus der Voraussetzung meiner Aufgabe weiß ,dass [mm] \left[ a,b \right) \in \mathcal A [/mm] gilt, reicht es doch nur zu zeigen, dass ich die Intervalle [mm] \left[a,b\right] [/mm] , [mm] \left( a,b \right] [/mm] [/mm] und [mm] (a,b) . [/mm] als Vereinigung von
[mm] \left[ a,b \right) [/mm] schreiben kann. Liege ich da richtig ?
Dann würde ich zum das Intervall [mm] \left[a,b\right] [/mm] folgendermaßen dar stellen:
[mm] \left[a,b\right] = \bigcup_{n 0 1 }^\infty \left[ a, b - \bruch{\epsilon}{n} \right) [/mm] mit [mm] \epsilon [/mm] beliebig klein.
Damit hätte ich doch gezeigt, dass das erwünschte Intevall in der [mm] \sigma [/mm] - Algebra liegt, oder? Denn nach der Definition der [mm] \sigma [/mm] - Algebra (3) ist doch die Vereinigung auch in der Algebra.
Dann würde weiterhin
[mm] (a,b) = \bigcup_{n=1}^\infty \left[ a + \bruch{\epsilon}{n} , b \right) [/mm] sein und schließlich
[mm] \left( a, b\right] = \bigcup_{n=1}^\infty \left[ a + \bruch{\epsilon}{n}, b - \bruch{\epsilon}{n} \right) [/mm]
Kann das so sein, oder ist das Blödsinn, was ich hier fabriziert habe  ?
Falls das so mehr oder weniger stimmt, reicht denn das für Teil (i) ?
Und zum Aufgabenteil (ii) weiß ich leider garnicht, wie ich da vorgehen kann... Kann mir da auch vielleicht jemand einen Tipp geben. Bin für jede Hilfe dankbar!
Vielen Dank im vorraus!
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Mi 24.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
nur mal kurz eine bemerkung zu einem teil:
> Da ich bereits aus der Voraussetzung meiner Aufgabe weiß
> ,dass [mm]\left[ a,b \right) \in \mathcal A[/mm] gilt, reicht es
> doch nur zu zeigen, dass ich die Intervalle
> [mm]\left[a,b\right][/mm] , [mm]\left( a,b \right][/mm] [/mm] und [mm](a,b) .[/mm] als
> Vereinigung von
> [mm]\left[ a,b \right)[/mm] schreiben kann. Liege ich da richtig ?
ja, im prinzip schon.
> Dann würde ich zum das Intervall [mm]\left[a,b\right][/mm]
> folgendermaßen dar stellen:
>
> [mm]\left[a,b\right] = \bigcup_{n 0 1 }^\infty \left[ a, b - \bruch{\epsilon}{n} \right)[/mm]
> mit [mm]\epsilon[/mm] beliebig klein.
warum sollte denn $b [mm] \in \bigcup_{n = 1 }^\infty \left[ a, b - \bruch{1}{n} \right)$ [/mm] sein (für [mm] $\varepsilon [/mm] =1$)? das liegt doch in keiner der einzelnen mengen und somit auch nicht in der vereinigung. um solche abgeschlossenen grenzen aus offenen grenzen zu bekommen bietet es sich meist an, mit schnitten zu arbeiten, also überlege dir doch mal, ob du einen analoge aussage wie die eigenschaft (3) aus der definition einer [mm] $\sigma$-algebra [/mm] auch für schnitte zeigen kannst.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Andreas!
Also, ich weiß aus der Vorlesung, dass auch der Durchschnitt von beliebig vielen [mm] \sigma [/mm] - Algebren in X auch wieder eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra in X ist.
Also, nach Voraussetzung seien [mm] \left[a,b \right) [/mm] mit [mm] a,b \in \mathbb R [/mm] beliebig .
Dann ist
[mm] \left[a - \bruch{ \epsilon }{n} , b \right) \cap \left[ a, b + \bruch{\epsilon}{n} \right) = \left[a,b\right] [/mm] .
Aber ich bin mir nicht so sicher, denn ist das b wirklich da drinnen?
Gruß
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 24.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Also, ich weiß aus der Vorlesung, dass auch der
> Durchschnitt von beliebig vielen [mm]\sigma[/mm] - Algebren in X
> auch wieder eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra in X ist.
Meinst du hier, dass der Durchschnitt abzählbar vieler Elemente einer [mm]\sigma[/mm]-Algebra wieder in der [mm]\sigma[/mm]-Algebra liegt?
> Also, nach Voraussetzung seien [mm]\left[a,b \right)[/mm] mit [mm]a,b \in \mathbb R[/mm]
> beliebig .
> Dann ist
>
> [mm]\left[a - \bruch{ \epsilon }{n} , b \right) \cap \left[ a, b + \bruch{\epsilon}{n} \right) = \left[a,b\right][/mm]
> .
>
> Aber ich bin mir nicht so sicher, denn ist das b wirklich
> da drinnen?
Nein, denn es ist nicht im linken der beiden Intervalle. Deine Idee mit den unendlich vielen Intervallen war doch gut, wende sie auf den Druchschnitt an: was ergibt
[mm]\bigcap_{n=1}^\infty \left[ a, b + \bruch{\epsilon}{n} \right)[/mm]
Dann solltest du dir noch überlegen, was du mit dem Komplement eines Intervalls, also [mm]\IR\backslash [a,b)[/mm] so alles anfangen kannst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Rainer!
Ja, ich wollte schon darauf hinaus, dass ich denke , dass der Durchschnitt abzählbar vieler Elemente einer Algebra wieder in der -Algebra liegt.. Ist das so richtig?
Also nochmal:
[mm] \left[a,b \right] = \bigcap_{n =1 }^{ \infty } \left[ a, b + \bruch{\epsilon}{n} \right) [/mm].
Ist das jetzt so richtig?
Mir ist klar, dass wenn [mm] \left[a,b \right) \in \mathcal A [/mm] ist, dass dann nach der Definition der Algebra auch das Komplement in der Algebra enthalten ist, also [mm] \methbb R \diagdown \left[a, b \right) \in \mathcal A [/mm]
Aber leider sehe ich noch nicht, wie mich das zu der Lösung für die anderen beiden Intervalle bringt :-(.
Was ist denn mit
[mm] \left( a,b \right] [/mm] = [mm] \bigcap_{n=1}^{ \infty} \left[ a - \bruch{\epsilon}{n} , b \right) [/mm] [/mm].
Ist das auch falsch?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Do 25.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Also nochmal:
>
> [mm]\left[a,b \right] = \bigcap_{n =1 }^{ \infty } \left[ a, b + \bruch{\epsilon}{n} \right) [/mm].
>
> Ist das jetzt so richtig?
Ich glaube schon. Denn: b liegt in jeden der Intervalle, die geschnitten werden, aber für jede Zahl [mm]c>b[/mm] gibt es Intervalle, in denen sie nicht liegt.
> Mir ist klar, dass wenn [mm]\left[a,b \right) \in \mathcal A[/mm]
> ist, dass dann nach der Definition der Algebra auch das
> Komplement in der Algebra enthalten ist, also [mm]\methbb R \diagdown \left[a, b \right) \in \mathcal A[/mm]
>
> Aber leider sehe ich noch nicht, wie mich das zu der Lösung
> für die anderen beiden Intervalle bringt :-(.
Ich dachte an Folgendes: wenn du weisst, dass alle Intervalle [mm][a,b)[/mm] und [mm][a,b][/mm] dazugehören, kannst du für ein beliebiges [mm]c
[mm]\IR\backslash [c,a] = (-\infty,c) \cup (a,\infty)[/mm]
und damit
[mm](\IR\backslash [c,a])\cap [a,b) = (a,b)[/mm]
und
[mm](\IR\backslash [c,a])\cap [a,b] = (a,b][/mm]
bilden.
> Was ist denn mit
>
> [mm]\left( a,b \right][/mm] = [mm]\bigcap_{n=1}^{ \infty} \left[ a - \bruch{\epsilon}{n} , b \right)[/mm]
Überleg mal: für n=1 hast du rechts [mm]\left[ a - \epsilon , b \right)[/mm], da du schneidest kann die linke Seite nicht mehr Punkte enthalten.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Do 25.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Rainer!
Danke vielmals, jetzt habe ich auch verstanden, was Du mit dem KOmplement gemeint hast... Klingt alles sehr einleuchtend... Jetzt habe ich auch verstanden, wie man die Teilaufgabe (i) löst!!! 1000 Dank nochmal.
Leider bin ich mit meinen Überlegungen für dem Aufgaben teil (ii) noch garnicht weiter gekommen.
Ich weiß nicht, ob ich dazu die Aufgabe 1 gebrauchen kann? und wenn ja, wie ?
Ich hoffe, da kann mir einer einen Tipp geben..
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Do 25.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen,
für das Maß [mm]\mu[/mm] muss doch gelten: [mm]\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B)[/mm], wenn [mm]A\cap B = \emptyset[/mm]. Jetzt nimm zum Beispiel: [mm]A=[a,b)[/mm] und [mm]A\cup B = [a,b][/mm]. Dann besteht B nur aus dem Punkt b. Wenn du nachweisen kannst, dass eine solche Menge mit nur einem Punkt eine Nullmenge bezüglich [mm]\mu[/mm] ist, bist du fertig.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Do 25.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ich wüsste nicht ganz genau, wie ich das zeigen kann. Also, muss ich zeigen, dass diese Menge, die nur aus einem Punkt besteht das Maß Null hat, richtig?
Ich habe eine Folgerung aus unserer Vorlesung gerade überflogen und hier steht, dass jede endliche oder abzählbare Teilmenge vom [mm] \mathbb R^n [/mm] das Maß 0 hat .
Kann mir das irgendwue helfen?
Viele Grüße
Irmchen
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Nun, eine Menge die nur aus einem Punkt besteht ist ziemlich endlich, oder? 
Du kannst es aber auch einfach zeigen (der erste Schritt müsste noch begründet werden!):
[mm]\mu([a,a])=\limes_{n\rightarrow\infty}\{\mu([a,a + \bruch{1}{n}))\}=\limes_{n\rightarrow\infty}(a + \bruch{1}{n} - a) =0[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Sa 27.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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