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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm]\mathcal{B}^2=\mathcal{B}\otimes\mathcal{B} = \sigma(\{B_1\times B_2 \; | \; B_1\in\mathcal{B} \wedge B_2\in \mathcal{B}\})[/mm]
Wobei [mm]\mathcal{B}[/mm] die Borelmenge ist |
Hier ist doch eine Mengengleichheit zu zeigen.
[mm]\subseteq[/mm] ist klar :
[mm]A=(A_1,A_2)\in \mathcal{B}^2 \gdw A_1\in\mathcal{B}\wedge A_2\in \mathcal{B}\Rightarrow A_1\in\sigma (\mathcal{B})\wedge A_2\in \sigma (\mathcal{B}) \Rightarrow A=(A_1,A_2)\in \sigma(\mathcal{B}^2)[/mm]
[mm]\supseteq[/mm] geht nicht direkt. Dafür zeige ich, dass [mm]\mathcal{B}\times \mathcal{B}[/mm] auch eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist. Dann ist doch
[mm]\mathcal{B}\otimes \mathcal{B} =\sigma (\mathcal{B}\times \mathcal{B})=\mathcal{B}\times\mathcal{B} \subseteq \mathcal{B}\otimes \mathcal{B}[/mm]
woraus die Gleichheit folgt.
Geht das so? Oder kann brauche ich nur die Eigenschaften der [mm]\sigma[/mm]-Algebra?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 So 29.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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