Signatur Berechnung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Sa 10.09.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Zu berechnen ist die Signatur folgender quadratischer Form:
[mm] q(x)=4x_{1}^{2}+12x_{2}^{2}-17x_{3}^{2} [/mm] |
Hallo an alle,
ich habe mich schon bei Wikipedia und im Internet umgesehen, aber kein so gutes Beispiel gefunden, wie man eine Signatur berechnet, sodass ichs verstanden hätte.
Somit brauche ich bitte eine Anleitung 
Ich habe die quadratische Form schonmal in eine Matrix umgewandelt:
[mm] \pmat{ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & -17}
[/mm]
Die Eigenwerte, habe ich gelesen, benötigt man auch, die sind hier 4,12,-17.
Das wars auch schon mit meinem Wissen, könnte mir bitte jemand erklären was zu tun ist?
Dann habe ich noch ein paar kleine Verständnisfragen, da ich bzgl Bilinearformen noch nicht so den Durchblick habe:
- Was genau ist einetich die Signatur einer Matrix bzw Bilinearform? :-S
- Ist eine quadratische Form genau das Gleiche wie eine Bilinearform?
- Wie steht der Trägheitssatz von Sylvester mit der Signatur im Zusammenhang? Den verstehe ich leider nicht richtig und kann ihn somit auch nicht wirklich zuordnen.
Vielen Dank im Voraus!!!
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Hallo paula_88,
> Zu berechnen ist die Signatur folgender quadratischer
> Form:
>
> [mm]q(x)=4x_{1}^{2}+12x_{2}^{2}-17x_{3}^{2}[/mm]
>
> Hallo an alle,
> ich habe mich schon bei Wikipedia und im Internet
> umgesehen, aber kein so gutes Beispiel gefunden, wie man
> eine Signatur berechnet, sodass ichs verstanden hätte.
>
> Somit brauche ich bitte eine Anleitung
>
> Ich habe die quadratische Form schonmal in eine Matrix
> umgewandelt:
>
> [mm]\pmat{ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & -17}[/mm]
>
> Die Eigenwerte, habe ich gelesen, benötigt man auch, die
> sind hier 4,12,-17.
>
> Das wars auch schon mit meinem Wissen, könnte mir bitte
> jemand erklären was zu tun ist?
Bringe die quadratische Form durch eine
einfache Koordinatentransformation auf die Normalform
[mm]q\left(y\right)=\summe_{i=1}^{p}y_{i}^{2}-\summe_{i=p+1}^{p+q}y_{i}^{2}[/mm]
Dann ist p der Trägheitsindex, p-q die Signatur und p+q der Rang
>
> Dann habe ich noch ein paar kleine Verständnisfragen, da
> ich bzgl Bilinearformen noch nicht so den Durchblick habe:
> - Was genau ist einetich die Signatur einer Matrix bzw
> Bilinearform? :-S
> - Ist eine quadratische Form genau das Gleiche wie eine
> Bilinearform?
Nein.
Mit der obigen Matrix hast Du den Zusammenhang
zwischen quadratischer Form und Bilinearform schon hergestellt:
[mm]q\left(x\right)=\pmat{x_{1} & x_ {2} & x_{3}}\pmat{4 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & -17}\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=B(x,x)[/mm]
> - Wie steht der Trägheitssatz von Sylvester mit der
> Signatur im Zusammenhang? Den verstehe ich leider nicht
> richtig und kann ihn somit auch nicht wirklich zuordnen.
>
> Vielen Dank im Voraus!!!
Gruss
MathePower
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